Calc.prob.condizionata assegnata dens.probabilità congiunta

[merendina_891]

Salve a tutti ragazzi,
ho un dubbio di statistica e probabilità.
Mi viene assegnata la seguente funzione di probabilità congiunta:

$ Fxy=2x $
per $x in [0,1]; yin [0,1] $

mentre invece altrove vale $ Fxy=0 $

devo ora calcolare una probabilità condizionata,ovvero:

$ P(x<0,5 // y=0,8) $

ora,sapendo che $ Fxy= 2x $ nell'intervallo sopra indicato.
ho difficoltà a calcolare questa probabilità condizionata.
Qualcuno potrebbe aiutarmi??
vi ringrazio in anticipo.

[wnvl]

\(\displaystyle P(x
Adesso puoi calcolare l'integrale tra 0 e 0,5...

[merendina_891]

ciao wnvl,grazie mille per la tua risposta.
Tuttavia,scusami ma non ho capito come fare.

Dispongo solo ora di una traccia di soluzione la quale indica i seguenti calcoli:

$ P(x<0,5//y=0,8) = P(x<0,5,y=0,8)//P(y=0,8) $

dopodiché svolge la consegna in questo modo:

$ lim xi->0 {[\ \int_{0,8-xi}^{0,8+xi} 1 \ \text{d} y $ $ \ \int_{0}^{0,5} 2x \ \text{d} x] // \( \int_{0,8-xi}^{0,8+xi} 2x \ \text{d} x)} $

la traccia della soluzione di cui io dispongo svolge l'esercizio in questa maniera ma io non riesco a spiegarmi il perché.
il risultato che ottiene è esattamente $5/32.$
Può sembrare una fesseria lo so,ma mi sto addentrando solo ora in questa disciplina e ho difficoltà anche in queste piccole cose.
Vi ringrazio per l'attenzione.



P.S. Chiedo scusa per come ho trascritto il limite (con $xi$ molto grande,e per come ho fatto il fratto nell'integrale,ma non riuscivo a capire come fare,ho cercato di farmi capire al meglio mettendo le parentesi quadre e tonde nel giusto modo per distinguere numeratore e denominatore.
Cercherò con il tempo di essere il più ordinato possibile,chiedo scusa.

[merendina_891]

Ciao Sergio,
grazie tante per la tua risposta,molto gentile.
Ho capito ciò che mi hai scritto all'inizio,tuttavia (perdonami potrebbe sembrare una domanda "tonta" ma ripeto,sto entrando da pochissimo in questa disciplina),non capisco come mai si integri in $ dx $ la probabilità $ P(y=0,8) $ .
Quest'ulitma non è una variabile in y?? Non riesco a spiegarmi come mai integri in $ dx $.
D'altronde nel numeratore si può notare come questa venga integrata in $ dx $

[Luo1]

"Sergio":Credo sia perché \(f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx = \int_0^1 2x\,dx\).
Facendo i calcoli:
\[
\frac{\displaystyle\int_{0.8-\xi}^{0.8+\xi}dy\int_0^{0.5} 2x\,dx}{\displaystyle\int_{0.8-\xi}^{0.8+\xi}2x\,dx}
=\frac{\displaystyle\int_{0.8-\xi}^{0.8+\xi}0.25\,dy}{[x^2]_{0.8-\xi}^{0.8+\xi}}
=\frac{0.5\xi}{3.2\xi}=\frac{5}{32}
\]
Però ti confesso che qualche dubbio ce l'ho.
Avrei calcolato: \(f_Y(y)= \int_0^1 2x\,dx=1\) per \(y\in[0,1]\), quindi:
\[
\frac{\displaystyle\int_{0.8-\xi}^{0.8+\xi}dy\int_0^{0.5} 2x\,dx}{\displaystyle\int_{0.8-\xi}^{0.8+\xi}1\,dy}
=\frac{\displaystyle\int_{0.8-\xi}^{0.8+\xi}0.25\,dy}{\displaystyle[y]_{0.8-\xi}^{0.8+\xi}}
=\frac{0.5\xi}{2\xi}=\frac{1}{4}
\]
Mi farebbe piacere sentire ancora wnvl.

Sergio vorrei porti una domanda, suppongo tu abbia integrato questa formula $f(x|y)= (f(x,y) dxdy)/(f(y)dy)$ nei rispettivi intervalli di integrazione giusto ? Se è così io mi trovo perfettamente con te, perchè chiaramente integrando in quegli estremi ottengo la probabilità richiesta e a questo punto mi chiedo se non ci sia un errore nella consegna o nella risoluzione.

[wnvl]

"wnvl":\(\displaystyle P(x
Adesso puoi calcolare l'integrale tra 0 e 0,5...

\(\displaystyle \int_0^{0,5}P(x
La pdf di \(\displaystyle x \) se \(\displaystyle y = 0,8 \) è uguale a \(\displaystyle F(x; 0,8)=2x \)

[wnvl]

"Sergio":
[quote="wnvl"]La pdf di \(\displaystyle x \) se \(\displaystyle y = 0,8 \) è uguale a \(\displaystyle F(x; 0,8)=2x \)

Il che vuol dire poi che le due variabili sono indipendenti.
[/quote]

Sì, guarda questo teorema per variabili indipendenti.

http://en.wikipedia.org/wiki/Joint_prob ... _variables

In questo caso hai

\(\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_X(x) \cdot f_Y(y)=2x \cdot 1 \)

[merendina_891]

Grazie della gentilezza e disponibilità a tutti!!