Calcolo varianza

[Bartolomeo2]

Trovo difficile calcolare la varianza in una situazione del genere.... l'esercizio chiede:

Due variabili aleatorie X e Y, indipendenti hanno varianza $sigma_x^2=4$ e $sigma_y^2=6$. Calcolare la varianza della variabile $Z= 2X+4Y-5$

Non ho ne media ne ne il dominio della funzione... come la calcolo sta varianza?

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":Trovo difficile calcolare la varianza in una situazione del genere.... l'esercizio chiede:

Due variabili aleatorie X e Y, indipendenti hanno varianza $sigma_x^2=4$ e $sigma_y^2=6$. Calcolare la varianza della variabile $Z= 2X+4Y-5$

Non ho ne media ne ne il dominio della funzione... come la calcolo sta varianza?

Devi ricordare:
1)$Y=a*X+b,a,b in RR$ allora $Var[Y]=a^2*Var[X]$ cioè $b$ (-5 nel tuo caso) non influisce;
2)quando hai la somma di variabili aleatorie indipendenti la varianza è la somma delle varianze.
Per cui
$Var[Z]=2^2*Var[X]+4^2*Var[Y]=4*4+16*6=16+96=112$

[_Tipper]

La varianza di una variabile aleatoria $T$ è $"Var"(T)=E[(T-E[T])^{2}]=E[T^{2}]-E[T]^{2}$

Quindi la varianza di $Z$ vale:$E[(2X+4Y-5)^{2}]-(E[2X+4Y-5])^{2}=4E[X^2]+16E[Y^2]+25+16E[XY]-20E[X]-40E[Y]-(2E[X]+4E[Y]-5)^{2}=$
$=4E[X^2]+16E[Y^2]+25+16E[XY]-20E[X]-40E[Y]-(4E[X]^2 + 16E[Y]^{2}+25+16E[X]E[Y]-20E[X]-40E[Y])=$
$=4E[X^2]+16E[Y^2]+25+16E[XY]-20E[X]-40E[Y]-4E[X]^2 - 16E[Y]^{2}-25-16E[X]E[Y]+20E[X]+40E[Y]=

Tenendo conto che $E[T^2]-E[T]^2$ è la varianza di $T$ e che $E[X]E[Y]-E[XY]=0$ perché sono indipendenti, e quindi scorrelate, si ottiene:

$4 \sigma_X^{2} +16 \sigma_Y^{2}$

Questa è la varianza di zeta

[Bartolomeo2]

sbaglio o le 2 varianze sono diverse?

[_Tipper]

Se ti riferisci a quelle calcolate da me e da nicasamarciano no, sono uguali.

[Bartolomeo2]

sembrano diverse perchè tu l'hai calcolata in X e in Y e lui invece.. diciamo che le ha calcolate in Z???

E se le variabili fossero stati dipendenti anzicchè sommare dovevo moltiplicare?

[Bartolomeo2]

"nicasamarciano":[quote="Bartolomeo"]Trovo difficile calcolare la varianza in una situazione del genere.... l'esercizio chiede:

Due variabili aleatorie X e Y, indipendenti hanno varianza $sigma_x^2=4$ e $sigma_y^2=6$. Calcolare la varianza della variabile $Z= 2X+4Y-5$

Non ho ne media ne ne il dominio della funzione... come la calcolo sta varianza?

Devi ricordare:
1)$Y=a*X+b,a,b in RR$ allora $Var[Y]=a^2*Var[X]$ cioè $b$ (-5 nel tuo caso) non influisce;
[/quote]

Come faccio a capire se b influisce o meno?

[_Tipper]

"Bartolomeo":sembrano diverse perchè tu l'hai calcolata in X e in Y e lui invece.. diciamo che le ha calcolate in Z???

E se le variabili fossero stati dipendenti anzicchè sommare dovevo moltiplicare?

Se erano dipendenti, ma scorrelate, non sarebbe cambiato nulla.

Se invece erano anche correlate non era vero che $E[XY]-E[X]E[Y]=0$, ovvero per calcolare la varianza avevi bisogno anche della covarianza.

Dal momento che sono correlate, per calcolare la varianza, devi avere, in un certo senso, un indice della loro correlazione.

[Bartolomeo2]

@ Nicasamarciano:

"nicasamarciano":
2)quando hai la somma di variabili aleatorie indipendenti la varianza è la somma delle varianze.

Se ho un prodotto di variabili aleatorie allora la varianza è il prodotto delle varianze???



@ Tipper: Il metodo che hai scritto tu vale anche nel caso di prodotto di variabili aleatorie indipindenti?

[_Tipper]

Il metodo che ho scritto io fa uso della definizione di varianza, quindi direi che va sempre bene...

Ovviamente, nel caso del prodotto di variabili aleatorie, i conti verranno diversi.

[Bartolomeo2]

"Tipper":vale:$E[(2X+4Y-5)^{2}]-(E[2X+4Y-5])^{2}=4E[X^2]+16E[Y^2]+25+16E[XY]-20E[X]-40E[Y]-(2E[X]+4E[Y]-5)^{2}=$
$=4E[X^2]+16E[Y^2]+25+16E[XY]-20E[X]-40E[Y]-(4E[X]^2 + 16E[Y]^{2}+25+16E[X]E[Y]-20E[X]-10E[Y])=$

L'ultimo termine della seconda riga... non dovrebbe essere $40E[Y]$ ???

EDIT: Nulla ho visto.. solo un errore di battitura.. sotto è giusto infatti...

[_Tipper]

Modifico subito...

[Bartolomeo2]

Vi ringrazio... gentilissimi....

[_nicola de rosa]

"Bartolomeo":Vi ringrazio... gentilissimi....

Le mie considerazioni facevano leva su due concetti fondamentali
1)Se $Y$ è una combinazione lineare della v.a $X$ cioè $Y=a*X+b$ allora la traslazione prodotta da $b$ non influisce e te lo dimostro: $Var[Y]=E[(Y-E[Y])^2]$ con $E[Y]=a*E[X]+b$ per cui $E(Y-E[Y])^2]=E[a(X-E[X])^2]=a^2*E[(X-E[X])^2]=a^2*Var[X]$
2) Se le variabili aleatorie sono indipendenti allora la varianza della loro somma è la somma delle rispettive varianze ognuna pesata per il coefficiente $a_i^2$.
In conclusione se $Z=sum_{i=1}^{n}a_i*X_i+b,a_i,b in RR$ ed $X_i$ $n$ v.a indipendenti allora $Var[Z]=sum_{i=1}^{n}a_i^2*Var[X_i]$
Nel tuo caso quindi $Var[Z]=2^2*Var[X]+4^2*Var[Y]=4*4*16*6=112$

Ma questo vale per la somma di v.a indipendenti. Per il prodotto di v.a indipendenti questo non vale cioè la varianza del prodotto non è il prodotto delle varianze. Infatti sia $Z=XY$ con $X,Y$ indipendenti.
Allora $Var[Z]=Var[XY]=E[(XY)^2]-E^2[XY]=E[X^2]*E[Y^2]-E^2[X]*E^2[Y]!=Var[X]*Var[Y]$