Calcolo stimatore massima verosimiglianza

[valentinax89]

Ciao a tutti,

posto un secondo esercizio con soluzione.
Anche in questo ho un dubbio.

Un eseprimento coinvolge il lancio di un dado con la forma di un parallelepipedo rettangolo avente le facce marcate 1,2,..,6. Tale dado ha le quattro facce 1,2,3,4 identiche e diverse dalle facce 5, e 6, tra loro identiche. Non si può quindi assumere che le sei facce siano ugualmente probabili. Sia $pi_i$ la probabilità dell'i-esima faccia, i= 1,...,6 . Una ragionevole distribuzione di probabilità assume $pi_1 = pi_2 = pi_3 = pi_4 = 1/6 + theta$ e $pi_5 = pi_6 = 1/6 - 2theta$ per $-1/6 <= theta <= 1/12$. Nell'esperimento il dado viene lanciato 100 volte. Sia $y_i$ il numero di volte in cui si presenta l'i-esima faccia, $i = 1,...,6$ con $sum{i=1}^6 y_i = 100$.

Il modello statistico che ho calcolato è il seguente:
$p_Y(y;theta) = ((, 100 , ),(y_1, ... , y_6)) (1/6 + theta) ^ (y_1+y_2+y_3+y_4) (1/6 - 2theta)^(y_5+y_6)$

La log-verosimiglianza è la seguente:

$l(theta) = tlog(1+6theta) + (100-t)log(1-12theta)$

$l_*(theta) = ((6t)/ (1+6theta)) - (12(n-t))/ (1-12theta)$

Il valore atteso di T è $400/(1/6 + theta)$

Ora mi viene chiesto di calcolare lo stimatore di max verosimiglianza...qui mi trovo in difficoltà:

$ ((6t)/ (1+6theta)) - (12(n-t))/ (1-12theta) = 0$

La soluzione è la seguente: $hat(theta) = T/400 - 1/6$...

Non riesco ad esplicitare theta e trovare la soluzione data...ho fatto 300 calcoli forse mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua...

[Lo_zio_Tom]

È giusto! Basta svolgere i calcoli (ho fatto solo il minimo comune multiplo partendo dal TUO risultato)

$6t-72t theta-1200-7200 theta+12t+72t theta=0$ [EDIT: corretto errore di stampa]

$ hat (theta)=(18t-1200)/7200=t/400-1/6$



PS: la condizione di $ theta $ del testo deve essere

$-1/6

Cita

Segnala

[valentinax89]

ok grazie !

[valentinax89]

Mi sa che il $12theta$ è in più