Calcolo Probabilità - Urna di composizione casuale

[method_nfb]

Salve stavo risolvendo il seguente esercizio:
sia un urna composta da sei palline bianche ed N palline nere
-sia N una variabile aleatoria su {4,5,6}
una volta che e' stata composta l'urna si effettuano estrazioni con reinserimento finche viene estratta la prima pallina nera.
Calcolare la distibuzione di T e la media E[T].
da una prima analisi drl problema possiamo subito affermare che T segue una distribuzione geometrica $p(1-p)^k$ in quanto siamo in una situazione con reinserimento, quindi mancanza di memoria.
quindi si ha:
$P(N=4)=P(N=5)=P(N=6)=1/3$
$P(T=k)= [p(T=k|N=4)*P(N=4)]+ [p(T=k|N=4)*P(N=5)]+ [p(T=k|N=4)*P(N=6)]=P(N=4)*p(1-p)^(k-1)+P(N=5)*p(1-p)^(k-1)+P(N=6)*p(1-p)^(k-1)$

mentre la media:
$sum_(k=1) k* P(T=k)$

domanda ma se k tende a infinito come faccio a fare questa media posso sfruttare le proprietà della distribuzione geometrica?

[DajeForte]

Come definisci $p$?

Per la media hai una serie ovvero una somma di infiniti termini la quale può risultare convergente (avere un valore finito).

[method_nfb]

"DajeForte":Come definisci $p$?

Per la media hai una serie ovvero una somma di infiniti termini la quale può risultare convergente (avere un valore finito).

$P=n/(n+b)$
dove n rappresenta il numero di palline nere e b il numero di palline bianche
praticamente il rapporto di casi favorevoli sui casi totali.
esempio $P=4/(4+6)$ per N=4

ma come faccio a dire che la serie converge assolutamente? basta fare $sum_(k=1) k* |P(T=k)|$ ?

[DajeForte]

Ok quindi in realtà abbiamo tre $p$ che dipendono da N.

Per la serie, innanzitutto il modulo di una probabilità è la probabilità stessa, poi ti basterebbe fare una maggiorazione
e vedi che la serie converge (confrontandola con quella della geometrica).

Comunque ti conviene utilizzare questa relazione $E[T]=E[E[T|N]]$