Calcolo probabilità su funzione di ripartizione
La funzione di ripartizione mi perseguita ed ogni volta che mi ci trovo davanti mi blocco, anzi, sbaglio.
Non riesco proprio a capire il ragionamento che c'è dietro il calcolo della probabilità data una funzione di ripartizione.
Il fatto è che non mi pare di avere problemi nel caso continuo, bensì solo sul caso discreto.
Facciamo un esempio, che mi rende tutto più chiaro.
Mettiamo che abbia una funzione di ripartizione così fatta:
$F(x)=\{(0 if x < 0),(1/4 if 0<=x<1),(1/2 if 1<=x<2),(4/5 if 2<=x<3),(1 if x>=3):}$
Se devo trovare la probabilità $P(1/2<=x<=2)$ come faccio?
Se fosse stato il caso continuo avrei sommato gli integrali $\int_0^(1)1/4dx$ $+$ $\int_(1/2)^(2)1/2dx$ $+$ $\int_2^(t)4/4dx$, ma qui come si fa?
Avevo capito che se dovevo calcolare la probabilità di un evento $E$ del tipo $P(a<=x<=b)$, dovevo fare $F(x)=F(b)-F(a^-)$.
Nel nostro caso ( o mio caso) $F(b)=4/5$, mentre $F(a^-)=1/2$, no? Di mezzo però c'è $1/2$. Quindi ho pensato, magari, vieni fuori $4/5 - 1/2 + 1/4$, perché abbiamo $F(b) - (F(c) - F(a))$.
Quante minchiate ho detto? (si può dire minchiate?).
P.S.: è giusto per il caso continuo, vero?
.
Vi ringrazio.
Non riesco proprio a capire il ragionamento che c'è dietro il calcolo della probabilità data una funzione di ripartizione.
Il fatto è che non mi pare di avere problemi nel caso continuo, bensì solo sul caso discreto.
Facciamo un esempio, che mi rende tutto più chiaro.
Mettiamo che abbia una funzione di ripartizione così fatta:
$F(x)=\{(0 if x < 0),(1/4 if 0<=x<1),(1/2 if 1<=x<2),(4/5 if 2<=x<3),(1 if x>=3):}$
Se devo trovare la probabilità $P(1/2<=x<=2)$ come faccio?
Se fosse stato il caso continuo avrei sommato gli integrali $\int_0^(1)1/4dx$ $+$ $\int_(1/2)^(2)1/2dx$ $+$ $\int_2^(t)4/4dx$, ma qui come si fa?
Avevo capito che se dovevo calcolare la probabilità di un evento $E$ del tipo $P(a<=x<=b)$, dovevo fare $F(x)=F(b)-F(a^-)$.
Nel nostro caso ( o mio caso) $F(b)=4/5$, mentre $F(a^-)=1/2$, no? Di mezzo però c'è $1/2$. Quindi ho pensato, magari, vieni fuori $4/5 - 1/2 + 1/4$, perché abbiamo $F(b) - (F(c) - F(a))$.
Quante minchiate ho detto? (si può dire minchiate?).
P.S.: è giusto per il caso continuo, vero?
.Vi ringrazio.
Risposte
"lezan":
$F(x)=\{(0 if x < 0),(1/4 if 0<=x<=1),(1/2 if 1<=x<=2),(4/5 if 2<=x<=3),(1 if x>=3):}$
A me questa $F$ non sembra nemmeno una funzione, così come l'hai scritta. Per esempio, $F(2)$ vale $1/2$ o $4/5$?
Giusto, ho corretto.
"lezan":
Quante minchiate ho detto?
Ora che hai corretto la $F$, io ne conto 4...
"retrocomputer":
[quote="lezan"]
Quante minchiate ho detto?
Ora che hai corretto la $F$, io ne conto 4...[/quote]
Quali sono? Come posso corregerle?
"lezan":
Quali sono? Come posso corregerle?
Aspetta, mica so tutto
Magari mi sbaglio io 
Intanto quello che tu chiami il caso continuo, secondo me si risolve sì con l'integrale, ma non della funzione di ripartizione, ma della densità (e probabilmente non vanno bene nemmeno gli estremi di integrazione che hai usato).
Poi non mi pare vero che $F(x)=F(b)-F(a^-)$. Infatti $F(b)-F(a^-)=P(a\leq X\leq b)$, mentre $F(x)=P(X\leq x)$, dove $X$ è una variabile aleatoria avente $F$ come funzione di ripartizione. Bisogna stare attenti alle maiuscole (variabili aleatorie) e alle minuscole (variabili numeriche).
Per ora mi fermo.
"retrocomputer":
Intanto quello che tu chiami il caso continuo, secondo me si risolve sì con l'integrale, ma non della funzione di ripartizione, ma della densità (e probabilmente non vanno bene nemmeno gli estremi di integrazione che hai usato).
C'hai ragione. Prima cavolata trovata.
"retrocomputer":
Poi non mi pare vero che $F(x)=F(b)-F(a^-)$. Infatti $F(b)-F(a^-)=P(a\leq X\leq b)$, mentre $F(x)=P(X\leq x)$, dove $X$ è una variabile aleatoria avente $F$ come funzione di ripartizione. Bisogna stare attenti alle maiuscole (variabili aleatorie) e alle minuscole (variabili numeriche).
Vero pure questa. Qua ho sbagliato proprio a scrivere, intendevo dire che $P(E)=F(b)-F(a^-)$.
'ste errore mi conforta, perché ho sbagliato a scrivere.
L'altro no, perché lo avrei sbagliato nel compito e con conseguente tirata di santi a ricevimento per capire cosa avessi sbagliato.
"retrocomputer":
Per ora mi fermo.
Mi abbandoni sul più bello.
Voglio ( e devo) capire come calcolare la probabilità dell'evento $P(E)$.
"lezan":
Mi abbandoni sul più bello.
Voglio ( e devo) capire come calcolare la probabilità dell'evento $P(E)$.
Ah ma ormai manca poco
Non ho capito perché hai scritto $F(a^-)=1/2$ quando $a=1/2$ si trova tra 0 e 1.
"retrocomputer":
Ah ma ormai manca poco
Lo speriamo tutti e due, ma purtroppo siamo ben lontani; o meglio, io sono ben lontano dal capire.
"retrocomputer":
Non ho capito perché hai scritto $F(a^-)=1/2$ quando $a=1/2$ si trova tra 0 e 1.
Credo sia dovuto al fatto che quella "formula" l'ho ricopiata paro paro da un appunto che avevo fatto dove $a$ ero uno degli estremi in cui cambiava la probabilità.
E visto che $a=1/2$ è compreso tra 0 e 1, quanto vale $F(a^-)$, che poi, in questo caso, è uguale a $F(a)$?
Direi $F(a)=1/4$, con $a=1/2$.
$F(b)=4/5$, con $b=2$.
Okei?
$F(b)=4/5$, con $b=2$.
Okei?
Sì, secondo me va bene.
Quindi $P(1/2<=x<=2)=4/5-1/4$?
Se, invece, dovessi trovare trovare $P(1<=x<=3)=1-1/2$?
Se, invece, dovessi trovare trovare $P(1<=x<=3)=1-1/2$?
"lezan":
Quindi $P(1/2<=x<=2)=4/5-1/4$?
Sì.
Se, invece, dovessi trovare trovare $P(1<=x<=3)=1-1/2$?
Per questo devi di nuovo correggere l'espressione della $F$ che attualmente non è definita nel punto $x=3$.
"retrocomputer":
Sì.
Allora non so cosa sbaglio all'esame; pensavo che questo fosse il problema, ma ho fatto esattamente così.
Se, invece, dovessi trovare trovare $P(1<=x<=3)=1-1/2$?
Per questo devi di nuovo correggere l'espressione della $F$ che attualmente non è definita nel punto $x=3$.
Giusto. Non ho copiato una cosa giusta dall'esercizio che mi ha dato
.
"lezan":
Allora non so cosa sbaglio all'esame; pensavo che questo fosse il problema, ma ho fatto esattamente così.
Non hai modo di ricopiare qui tutti i passaggi che hai fatto?
Se, invece, dovessi trovare trovare $P(1<=x<=3)=1-1/2$?
Come mai $1/2$? Bisogna fare il limite sinistro...
Okei, allora è qui che ho sempre sbagliato.
Come mai il limite? Questo non l'ho capito. Avresti qualche link che mi spiega 'sta cosa?
Il libro che ho ed i link che ho trovato non né parlano.
Il mio dubbio é: nel calcolare $P(1/2<=x<=2)$ ho fatto $F(2)-F(1)$. Ora, $1/2$ è all'interno dell'intervallo $[0,1]$, mentre $2$ si trova sul salto, ma fa parte dell'intervallo $[2,3]$.
Invece, nel calcolare $P(1<=x<=3)$ da quanto ho capito dovrò fare $1-1/4$.
Qua mi viene il dubbio.
Come mai qua devo fare il limite per l'estremo $1$, mentre nel primo caso sull'estremo $2$ non l'ho dovuto fare? Io vedo che entrambi sono sul salto ed entrambi sono compresi in quell'intervallo, ma su uno prende l'intervallo dove è compreso, mentre nel secondo caso no e faccio il limite.
Questo non ho capito e spero di essermi riuscito a spiegare.
Come mai il limite? Questo non l'ho capito. Avresti qualche link che mi spiega 'sta cosa?
Il libro che ho ed i link che ho trovato non né parlano.
Il mio dubbio é: nel calcolare $P(1/2<=x<=2)$ ho fatto $F(2)-F(1)$. Ora, $1/2$ è all'interno dell'intervallo $[0,1]$, mentre $2$ si trova sul salto, ma fa parte dell'intervallo $[2,3]$.
Invece, nel calcolare $P(1<=x<=3)$ da quanto ho capito dovrò fare $1-1/4$.
Qua mi viene il dubbio.
Come mai qua devo fare il limite per l'estremo $1$, mentre nel primo caso sull'estremo $2$ non l'ho dovuto fare? Io vedo che entrambi sono sul salto ed entrambi sono compresi in quell'intervallo, ma su uno prende l'intervallo dove è compreso, mentre nel secondo caso no e faccio il limite.
Questo non ho capito e spero di essermi riuscito a spiegare.
"lezan":
Come mai qua devo fare il limite per l'estremo $1$, mentre nel primo caso sull'estremo $2$ non l'ho dovuto fare? Io vedo che entrambi sono sul salto ed entrambi sono compresi in quell'intervallo, ma su uno prende l'intervallo dove è compreso, mentre nel secondo caso no e faccio il limite.
In realtà il limite lo fai sempre, ma dove la $F$ è continua, limite destro e limite sinistro coincidono. Piuttosto, per capire come mai si usa il limite sinistro potresti provare a svolgere i passaggi per dimostrare $P(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a^-)$ e troveresti a un certo punto un $P(X
Cavolo, hai ragione. Non avevamo mai pensato a 'sta cosa ed ora che tu me lo hai detto ed io l'ho fatto ho capito dopo tutto questo tempo come "funziona" 'sta cavolo di funzione di ripartizione nel caso discreto .
Ti ringrazio infinitamente e per ora fermo le mie domande(ma sicuramente tornerò per qualche altro dubbio).
Ciao e ancora grazie per il tuo aiuto.
.Ti ringrazio infinitamente e per ora fermo le mie domande(ma sicuramente tornerò per qualche altro dubbio).
Ciao e ancora grazie per il tuo aiuto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo