Calcolo probabilità marginale da congiunta discreta
Buonasera. Ho dei dubbi sulla risoluzione del seguente esercizio.
In un’urna sono contenute dieci palline numerate da 1 a 10. Vengono effettuate due estrazioni senza rimpiazzo. Si considerino le variabili aleatorie:
$x_i$ = {numero della pallina estratta all’ i-esima estrazione}, $i = 1,2,3.. $.
a) Determinare le probabilità degli eventi ${x_1 = i, x_2 = j}$, per $i, j = 1, . . . , 10$.
b) Determinare la probabilità dell’evento ${x_1 + x_2 = 5}$.
c) Determinare la probabilità dell’evento {$x_2$ è pari}. C'è differenza con la probabilità dell’evento {$x_1$ è pari}?
d) Determinare la probabilità dell’evento {$x_2 = 9$}, sapendo che la prima estrazione ha dato un esito maggiore di 5 (ovvero $x_1 > 5$).
a)Credo equivalga a calcolare la funzione di probabilità congiunta $p(x_1,x_2)={(1/10)*(1/9) AAx_1!=x_2}.
b)Dovrebbe essere data dalla somma delle probabilità delle estrazioni che portano a 5, cioè $4*(1/90)$ (dato che quattro è il numero di coppie diverse che danno 5).
c)Qui partono i dubbi seri! E' indispensabile calcolare la probabilità marginale di $y$ ? In caso affermativo, è normale che venga pari a quella che si avrebbe nel caso di estrazioni senza rimpiazzo, cioè $p(y)=1/10$ ? Se così fosse, si otterrebbe $P=5*(1/10)$ che non è differente dalla probabilità dell'esito $x_1$ è pari. Ma la cosa mi suona strana!
d)$P(x_2=9|x_1>5)=(P(x_1>5|x_2=9)*P(x_2=9))/(P(x_1>5))=((4/10)*(1/10))/(5/10)=2/25$ ma anche qui, non è forse $P(x_1>5|x_2=9)=4/9$ dato che i casi possibili sono 9?
In un’urna sono contenute dieci palline numerate da 1 a 10. Vengono effettuate due estrazioni senza rimpiazzo. Si considerino le variabili aleatorie:
$x_i$ = {numero della pallina estratta all’ i-esima estrazione}, $i = 1,2,3.. $.
a) Determinare le probabilità degli eventi ${x_1 = i, x_2 = j}$, per $i, j = 1, . . . , 10$.
b) Determinare la probabilità dell’evento ${x_1 + x_2 = 5}$.
c) Determinare la probabilità dell’evento {$x_2$ è pari}. C'è differenza con la probabilità dell’evento {$x_1$ è pari}?
d) Determinare la probabilità dell’evento {$x_2 = 9$}, sapendo che la prima estrazione ha dato un esito maggiore di 5 (ovvero $x_1 > 5$).
a)Credo equivalga a calcolare la funzione di probabilità congiunta $p(x_1,x_2)={(1/10)*(1/9) AAx_1!=x_2}.
b)Dovrebbe essere data dalla somma delle probabilità delle estrazioni che portano a 5, cioè $4*(1/90)$ (dato che quattro è il numero di coppie diverse che danno 5).
c)Qui partono i dubbi seri! E' indispensabile calcolare la probabilità marginale di $y$ ? In caso affermativo, è normale che venga pari a quella che si avrebbe nel caso di estrazioni senza rimpiazzo, cioè $p(y)=1/10$ ? Se così fosse, si otterrebbe $P=5*(1/10)$ che non è differente dalla probabilità dell'esito $x_1$ è pari. Ma la cosa mi suona strana!
d)$P(x_2=9|x_1>5)=(P(x_1>5|x_2=9)*P(x_2=9))/(P(x_1>5))=((4/10)*(1/10))/(5/10)=2/25$ ma anche qui, non è forse $P(x_1>5|x_2=9)=4/9$ dato che i casi possibili sono 9?
Risposte
"billytalentitalianfan":
c)E' indispensabile calcolare la probabilità marginale di $y$ ? In caso affermativo, è normale che venga pari a quella che si avrebbe nel caso di estrazioni senza rimpiazzo, cioè $p(y)=1/10$ ? Se così fosse, si otterrebbe $P=5*(1/10)$ che non è differente dalla probabilità dell'esito $x_1$ è pari. Ma la cosa mi suona strana!
Non ho ben capito a cosa ti riferisci con la probabilità marginale. Però sono d'accordo che $P(x_2 " pari")=5/10=1/2$
Puoi vederlo anche con la probabilità condizionata:
$P(x_2 " pari")=P(x_2 " pari"|x_1 " pari")*P(x_1 " pari")+P(x_2 " pari"|x_1 " dispari")*P(x_1 " dispari")=4/9*5/10+5/9*5/10=1/2$
"billytalentitalianfan":
d)non è forse $P(x_1>5|x_2=9)=4/9$ dato che i casi possibili sono 9?
Concordo sul $4/9$.
Un altro modo di rispondere alla domanda è di rapportare casi favorevoli e casi totali.
I casi favorevoli sono: ${(6,9), (7,9), (8,9), (10,9)}$, quindi sono $4$.
I casi totali sono $5*9=45$ (5 modi di scegliere $x_1$ e 9 modi di scegliere $x_2$).
La probabilità in ogni caso viene $4/45$.
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