Calcolo probabilità
Vogliamo trovare il numero di telefono di una persona nell'elenco telefonico. La probabilità che vi sia il suo numero è $ p $. Nell'elenco troviamo $ m $ persone con lo stesso cognome e cominciamo a provare dal primo. I primi $ k $ risultano non essere la persona cercata. Qual'è la probabilità che il numero della persona cercata sia tra le $ m-k $ persone rimanenti?
Potreste aiutarmi a risolverlo ?
Io ho pensato di considerare l'evento $A_i$ = '' il numero i è della persona cercata'' $i=1,...,m $ e considerare $ E $ l'evento '' il numero è nell'elenco'' con probabilita $p$ per ipotesi
Se pensiamo alle prove come delle estrazioni senza restituzione gli $A_i$ dovrebbero essere tutti equiprobabili con
$ P(A_i) = 1/m$.
Se considero la probabilità che il numero cercato sia il numero $ k+1 $ dovrebbe essere
$P(A_1^cA_2^c...A_k^cA_(k+1)A_(K+2)^c...A_m^c\|E)P(E) = pP(A_1^cA_2^c...A_k^cA_(k+1)A_(K+2)^c...A_m^c)$
Usando il teorema delle probabilità composte generalizzato mi viene
$P(A_1^cA_2^c...A_k^cA_(k+1)A_(K+2)^c...A_m^c) =1/m $ pertanto poiché non dipende da $k$ posso dedurre che la probabilità sarà uguale $ \forall i=k+1,...,m $
Allora la probabilità cercata dall 'esercizio sarà $(p(m-k))/m$
Non sono tanto convinto di questo ragionamento qualcuno ha qualche consiglio?
Potreste aiutarmi a risolverlo ?
Io ho pensato di considerare l'evento $A_i$ = '' il numero i è della persona cercata'' $i=1,...,m $ e considerare $ E $ l'evento '' il numero è nell'elenco'' con probabilita $p$ per ipotesi
Se pensiamo alle prove come delle estrazioni senza restituzione gli $A_i$ dovrebbero essere tutti equiprobabili con
$ P(A_i) = 1/m$.
Se considero la probabilità che il numero cercato sia il numero $ k+1 $ dovrebbe essere
$P(A_1^cA_2^c...A_k^cA_(k+1)A_(K+2)^c...A_m^c\|E)P(E) = pP(A_1^cA_2^c...A_k^cA_(k+1)A_(K+2)^c...A_m^c)$
Usando il teorema delle probabilità composte generalizzato mi viene
$P(A_1^cA_2^c...A_k^cA_(k+1)A_(K+2)^c...A_m^c) =1/m $ pertanto poiché non dipende da $k$ posso dedurre che la probabilità sarà uguale $ \forall i=k+1,...,m $
Allora la probabilità cercata dall 'esercizio sarà $(p(m-k))/m$
Non sono tanto convinto di questo ragionamento qualcuno ha qualche consiglio?
Risposte
benvenuto nel forum.
ti posso dire, brevemente, che la probabilità da te trovata è giusta se la consideri a-priori, cioè sapendo che la probabilità che il numero sia nell'elenco è $p$ e che i nomi a cui può corrispondere sono $m$.
però qui sembra che vada considerata anche l'ipotesi che sai che il numero non appartiene a $k$ delle $m$ utenze, mentre la probabilità che ci sia (e quindi che appartenga ad una delle rimanenti $m-k$ utenze) continua ad essere $p$.
ti posso dire, brevemente, che la probabilità da te trovata è giusta se la consideri a-priori, cioè sapendo che la probabilità che il numero sia nell'elenco è $p$ e che i nomi a cui può corrispondere sono $m$.
però qui sembra che vada considerata anche l'ipotesi che sai che il numero non appartiene a $k$ delle $m$ utenze, mentre la probabilità che ci sia (e quindi che appartenga ad una delle rimanenti $m-k$ utenze) continua ad essere $p$.
Ciao grazie per avermi risposto, allora se non ho capito male dovrei condizionare la probabilità agli eventi $A_1^c...A_k^c$?
prego.
... direi di sì, almeno è quello che io ho interpretato leggendo il quesito.
io ho avuto un dubbio su come è posto, perché se uno conosce nome e cognome, e cerca solo il cognome, vuol dire che il numero è intestato ad un familiare, però il familiare in questione potrebbe anche avere un cognome diverso...
certo il tuo esercizio è una trasposizione teorica di una possibile realtà, ma bisogna vedere l'esatta formulazione e le intenzioni dell'estensore: a me sembra come abbiamo detto.
... direi di sì, almeno è quello che io ho interpretato leggendo il quesito.
io ho avuto un dubbio su come è posto, perché se uno conosce nome e cognome, e cerca solo il cognome, vuol dire che il numero è intestato ad un familiare, però il familiare in questione potrebbe anche avere un cognome diverso...
certo il tuo esercizio è una trasposizione teorica di una possibile realtà, ma bisogna vedere l'esatta formulazione e le intenzioni dell'estensore: a me sembra come abbiamo detto.
Ho rifatto i conti considerando la probabilità di $A_(k+1)$ condizionata agli eventi $A_i$ Contrari e se non ho sbagliato viene $p$ e deduco che sia lo stesso risultato qualsiasi $ A_i i=k+1,...,m $, allora la probabilità è $(m-k)p$? Però così non sempre risulta minore di uno 
dovrebbe essere sempre $p$ la probabilità che sia uno degli ultimi $m-k$ (non per ciascuno!) dalle due condizioni: è $p$ la probabilità che sia uno degli $m$; è certo che che non è uno dei primi $k$.
se non ti torna posta i calcoli.
se non ti torna posta i calcoli.
I calcoli sono questi:
$P(A_i)=1/m$ $\forall i=1,...,m$
Poiché $A_i=>A_k^c...A_1^c$ Si ha :
$P(A_i|A_k^c...A_1^c)=
(P(A_i))/(P(A_k^c...A_1^c))$
Uso il teorema delle probabilità composte generalizzato:
$P(A_k^c...A_1^c)=P(A_k^c|A_(k-1)^c...A_1^c)...P(A_2^c|A_1^c)P(A_1^c)=(m-k)/m$
Pertanto ricordando che tutto va moltiplicato per $p$ in quanto è condizionato al fatto che in effetti il numero è nell'elenco si ha :
$P(A_i|A_k^c...A_1^c)=P/(m-k)$ $\forall i=1,..m$ pertanto la probabilità cercata è $p/(m-k)(m-k)=p$
Forse ora sono corretti
$P(A_i)=1/m$ $\forall i=1,...,m$
Poiché $A_i=>A_k^c...A_1^c$ Si ha :
$P(A_i|A_k^c...A_1^c)=
(P(A_i))/(P(A_k^c...A_1^c))$
Uso il teorema delle probabilità composte generalizzato:
$P(A_k^c...A_1^c)=P(A_k^c|A_(k-1)^c...A_1^c)...P(A_2^c|A_1^c)P(A_1^c)=(m-k)/m$
Pertanto ricordando che tutto va moltiplicato per $p$ in quanto è condizionato al fatto che in effetti il numero è nell'elenco si ha :
$P(A_i|A_k^c...A_1^c)=P/(m-k)$ $\forall i=1,..m$ pertanto la probabilità cercata è $p/(m-k)(m-k)=p$
Forse ora sono corretti
mi pare di sì, ora, anche se sono piuttosto stanca ... e tutti quei simboli mi fanno girare la testa!
Grazie per l'aiuto
prego!
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