Calcolo media e varianza dalla densità(caso continuo)
Buongiorno a tutti
sono nuovo e spero di non sbagliare qualcosa nel presentare il topic
Ho il seguente esercizio
Si consideri una v-a X con densità $f(x)=4xe^-(2x^2) $1${x>0}$
Calcolare media e varianza
Svolgimento:
Dalla teoria so che
$E(X)=\int_-infty^infty x f(x)\ \text{dx}$ quindi sostituendo e vedendo il dominio in esame scrivo
$E(X)=\int_0^infty x 4x e^-2x^2\\text{dx}$ qui ho i miei primi problemi
Volevo procedere per parti,dopo aver visto che $4xe^-2x^2$=$(-dele^-(2x^2))/(delx)$ ma mi sono bloccato ($g(x)=x$ -> $g'(x)=1$ e $f'(x)=e^(-2x^2)$ ->$ f(x)=?$)
Ho dopo notato che la funzione integranda è "quasi" la varianza di una gaussiana
$E(X)=\int_0^infty x 4x e^-2x^2\text{dx}$ =$1/2\int_-infty^infty x 4x e^-2x^2\text{dx}$=$1/2\int_-infty^infty x^2 e^-(x^2/(2*1/4))/sqrt(2pi1/4)$$4sqrt(2pi1/4)\text{dx}$
dove
$\int_-infty^infty x^2 e^-(x^2/(2*1/4))/sqrt(2pi1/4)\text{dx}$ altro non è che $VAR(N(0,1/4))$
quindi a concludere $E(X)=1/2*1/4*4 sqrt(2pi1/4)$
Ovviamente(se la soluzione è corretta) mi piacerebbe arrivare a questo risultato anche con l integrazione per parti anche perchè nella
$VAR(X)=E(X^2)-E(X)^2$
$E(X^2)=\int_0^infty x^2*4x e^-2x^2\text{dx}$ e mi riblocco di nuovo
Spero di non aver sbagliato l impostazione e spero che qualche anima buona possa aiutarmi a svolgere questo esercizio. Grazie mille a tutti
sono nuovo e spero di non sbagliare qualcosa nel presentare il topic
Ho il seguente esercizio
Si consideri una v-a X con densità $f(x)=4xe^-(2x^2) $1${x>0}$
Calcolare media e varianza
Svolgimento:
Dalla teoria so che
$E(X)=\int_-infty^infty x f(x)\ \text{dx}$ quindi sostituendo e vedendo il dominio in esame scrivo
$E(X)=\int_0^infty x 4x e^-2x^2\\text{dx}$ qui ho i miei primi problemi
Volevo procedere per parti,dopo aver visto che $4xe^-2x^2$=$(-dele^-(2x^2))/(delx)$ ma mi sono bloccato ($g(x)=x$ -> $g'(x)=1$ e $f'(x)=e^(-2x^2)$ ->$ f(x)=?$)
Ho dopo notato che la funzione integranda è "quasi" la varianza di una gaussiana
$E(X)=\int_0^infty x 4x e^-2x^2\text{dx}$ =$1/2\int_-infty^infty x 4x e^-2x^2\text{dx}$=$1/2\int_-infty^infty x^2 e^-(x^2/(2*1/4))/sqrt(2pi1/4)$$4sqrt(2pi1/4)\text{dx}$
dove
$\int_-infty^infty x^2 e^-(x^2/(2*1/4))/sqrt(2pi1/4)\text{dx}$ altro non è che $VAR(N(0,1/4))$
quindi a concludere $E(X)=1/2*1/4*4 sqrt(2pi1/4)$
Ovviamente(se la soluzione è corretta) mi piacerebbe arrivare a questo risultato anche con l integrazione per parti anche perchè nella
$VAR(X)=E(X^2)-E(X)^2$
$E(X^2)=\int_0^infty x^2*4x e^-2x^2\text{dx}$ e mi riblocco di nuovo
Spero di non aver sbagliato l impostazione e spero che qualche anima buona possa aiutarmi a svolgere questo esercizio. Grazie mille a tutti
Risposte
E' una weibull di parametri $k=2$ e $lambda=sqrt(0.5)$ quindi anche media e varianza sono noti.
Riguardando l'esercizio è davvero facile.
Momento primo: per parti (un passaggio ed un "piccolo ragionamento") ottenendo, senza fare conti, $E(X)=sqrt(pi)/ (2sqrt(2))$ e quindi sì, hai fatto i conti per bene, forse con qualche passaggio in più del necessario
$int_0^(oo)x\cdot4x e^(-2x^2)dx=-[x \cdot e^(-2x^2)]_0^(oo)+int_0^(oo)e^{-2x^2)dx=0+1/sqrt(2) int_0^(oo)e^{-y^2)dy=1/sqrt(2)sqrt(pi)/2$
sostituisci $y=sqrt(2)x$ ed usi il risultato noto dell'integrale di Gauss
Momento secondo
$E(X^2)=int_0^{oo) 4x^3e^(-2x^2)dx$
sostituisci $y=2x^2$ ottenendo
$E(X^2)=1/2 int_0^(oo)y e^(-y)dy=1/2$
l'integrale fa uno senza alcun conto essendo la media di una esponenziale negativa di media uno
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ì
Quindi la varianza immediatamente $V(X)=1/2-pi/8$ dalla definizione (editato un piccolo errore, mi ero perso una costante nei tasti della tastiera)
Riguardando l'esercizio è davvero facile.
Momento primo: per parti (un passaggio ed un "piccolo ragionamento") ottenendo, senza fare conti, $E(X)=sqrt(pi)/ (2sqrt(2))$ e quindi sì, hai fatto i conti per bene, forse con qualche passaggio in più del necessario
$int_0^(oo)x\cdot4x e^(-2x^2)dx=-[x \cdot e^(-2x^2)]_0^(oo)+int_0^(oo)e^{-2x^2)dx=0+1/sqrt(2) int_0^(oo)e^{-y^2)dy=1/sqrt(2)sqrt(pi)/2$
sostituisci $y=sqrt(2)x$ ed usi il risultato noto dell'integrale di Gauss
Momento secondo
$E(X^2)=int_0^{oo) 4x^3e^(-2x^2)dx$
sostituisci $y=2x^2$ ottenendo
$E(X^2)=1/2 int_0^(oo)y e^(-y)dy=1/2$
l'integrale fa uno senza alcun conto essendo la media di una esponenziale negativa di media uno
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ì
Quindi la varianza immediatamente $V(X)=1/2-pi/8$ dalla definizione (editato un piccolo errore, mi ero perso una costante nei tasti della tastiera)
Grazie Tommy...
Due cosine
L integrazione per parti e il piccolo ragionamento che dicevi puoi mostrarmelo gentilmente, non riesco a trovarlo?? (ammetto che sono un po' arrugginito in Analisi 1 forse può solo che giovarmi)
Seconda domanda:
Il secondo integrale la funzione integrando non diventa $2ye^-ydy/x $
Due cosine
L integrazione per parti e il piccolo ragionamento che dicevi puoi mostrarmelo gentilmente, non riesco a trovarlo?? (ammetto che sono un po' arrugginito in Analisi 1 forse può solo che giovarmi)
Seconda domanda:
Il secondo integrale la funzione integrando non diventa $2ye^-ydy/x $
sto scrivendo dal cellulare e facendo i conti a mente...ho fatto qualche piccolo errorino, nella fretta, ora corretti.
per il primo integrale ti ho già scritto tutti i passaggi. L'integrazione per parti viene 0 + l'integrale di gauss, dopo opportuna sostituzione.
Per il secondo integrale i conti sono questi
$int_0^(oo)4x^3e^(-2x^2)dx$
pongo
$2x^2=y$ ovvero $4xdx=dy$ per cui ottieni
$1/2 int_0^(oo)(2x^2) e^(-(2x^2))(4xdx)=1/2 int_0^(oo)y e^(-y)dy=1/2$
^^^^^^^^^^^^^^
ho rivisto i tuoi conti e, nell'integrazione per parti, hai semplicemente confuso $f$ con $f'$
$f'=4x e^(-2x^2)$
$f=-e^(-2x^2)$
Inoltre: io ho usato il risultato noto dell'integrale di gauss ma se non ti è familiare, puoi ricondurre la tua integranda a quella di una gaussiana di media zero e varianza $1/4$, senza passare per la definizione di varianza...il risultato è lo stesso.
Mi permetto comunque di consigliarti di seguire i miei passaggi perché risolvi tutto senza fare conti...tieni presente che ho fatto tutto a mente, senza nemmeno carta e penna (con qualche imperdonabile errore, come hai visto)
per il primo integrale ti ho già scritto tutti i passaggi. L'integrazione per parti viene 0 + l'integrale di gauss, dopo opportuna sostituzione.
Per il secondo integrale i conti sono questi
$int_0^(oo)4x^3e^(-2x^2)dx$
pongo
$2x^2=y$ ovvero $4xdx=dy$ per cui ottieni
$1/2 int_0^(oo)(2x^2) e^(-(2x^2))(4xdx)=1/2 int_0^(oo)y e^(-y)dy=1/2$
^^^^^^^^^^^^^^
ho rivisto i tuoi conti e, nell'integrazione per parti, hai semplicemente confuso $f$ con $f'$
$f'=4x e^(-2x^2)$
$f=-e^(-2x^2)$
Inoltre: io ho usato il risultato noto dell'integrale di gauss ma se non ti è familiare, puoi ricondurre la tua integranda a quella di una gaussiana di media zero e varianza $1/4$, senza passare per la definizione di varianza...il risultato è lo stesso.
Mi permetto comunque di consigliarti di seguire i miei passaggi perché risolvi tutto senza fare conti...tieni presente che ho fatto tutto a mente, senza nemmeno carta e penna (con qualche imperdonabile errore, come hai visto)
Come ha già scritto Tommik, sostituendo $y=sqrt(2)x$ abbiamo:
$int_0^(oo) 4x^2e^(-2x^2)dx=1/sqrt(2) int_0^(oo) y^2e^(-y^2)dy=sqrt(pi)/(2sqrt(2))*[1/sqrt(pi)int_(-oo)^(oo) y^2e^(-y^2)dy]$
Notiamo che ciò che sta dentro le parentesi quadre è la varianza di una normale standardizzata, pertanto vale 1.
$int_0^(oo) 4x^2e^(-2x^2)dx=1/sqrt(2) int_0^(oo) y^2e^(-y^2)dy=sqrt(pi)/(2sqrt(2))*[1/sqrt(pi)int_(-oo)^(oo) y^2e^(-y^2)dy]$
Notiamo che ciò che sta dentro le parentesi quadre è la varianza di una normale standardizzata, pertanto vale 1.
GRAZIE MILLE AD ENTRAMBI
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