Calcolo funzione di ripartizione di una v.a. normale standard trasformata

[mbistato]

Ciao a tutti, ancora con l'ennesimo dubbio riguardo al calcolo della funzione di ripartizione di una v.a. trasformata.

In pratica ho una v.a. $X~N(0,1)$ e $Y=g(X)$ con

$$g(x)=\begin{cases}
\frac{1}{2}x+2 & \mbox{se } x < 0\\
-2x+2 & \mbox{se } x\geq 0\end{cases}$$

Devo trovare la funzione di densità $f_Y(y)$ e la funzione di ripartizione $F_Y(y)$.
Per via grafica non riesco perchè non ho la congiunta $f_{X,Y}(x,y)$, infatti:

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Per $y>2,\ F_Y(y) = 1$ ma per $y\leq 2$ dovrei fare l'integrale doppio della congiunta esteso al dominio segnato in verde, no?

Invece, applicando il teorema fondamentale ottengo direttamente la densità:

$$f_Y(y)=\begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(2\cdot e^{-2(y-2)^2}+\frac{1}{2}\cdot e^{-(y-2)^2/8}\right) & \mbox{se } y < 2\\
0 & \mbox{se } y \geq 2\end{cases}$$

[Lo_zio_Tom]

Sì è giusta la densità trovata (c'è solo un errore nel dominio perché in $y=2$ la funzione non è zero) ma si trova subito anche con il metodo grafico, ottenendo così sia la Funzione di ripartizione che la densità, come richiesto dall'esercizio.

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Due passaggi per trovare la CDF

$P (Y>y)=F_X ((2-y)/2)-F_X (2y-4) =Phi((2-y)/2)-Phi(2y-4) $

$F_Y (y)=1-Phi((2-y)/2)+Phi(2y-4) $

E un altro passaggio (derivando) per trovare la densità.

$f_Y (y)=1/2 phi((2-y)/2)+2phi(2y-4) $


Per verificare che il risultato è giusto basta controllare le proprietà della $F_Y $:

$F_Y (-oo)=1-Phi(+oo)+Phi(-oo)=1-1+0=0$

$F_Y (2)=1-Phi(0)+Phi (0)=1$

$d/(dy) F_Y>=0 AAy$

se provi a svolgere esplicitamente i conti vedi che la mia $f (y) $ è identica alla tua

Tutto il ragionamento di integrare una congiunta (??) sull'area colorata non lo capisco; qui siamo nel caso univariato non hai $f_(XY)(x,y)$.

Y non è una variabile casuale, è una funzione deterministica di trasformazione della variabile....

[mbistato]

"tommik":Sì è giusta la densità trovata (c'è solo un errore nel dominio perché in $y=2$ la funzione non è zero) ma si trova subito anche con il metodo grafico, ottenendo così sia la Funzione di ripartizione che la densità, come richiesto dall'esercizio.

$f_Y (y)=1/2 phi((2-y)/2)+2phi(2y-4) $

Facendo il calcolo

$f_Y(2)=1/2 phi(0)+2phi(0)=5/2 1/\sqrt{2\pi}$

ma non capisco come trovare lo stesso valore applicando il teorema che ho applicato sopra. Non dovrebbe essere:

$P(Y=2)=P(X=0)\cdot\delta(y-2)=1/\sqrt{2\pi} \cdot\delta(y-2)$ ??

"tommik":
Tutto il ragionamento di integrare una congiunta (??) sull'area colorata non lo capisco; qui siamo nel caso univariato non hai $f_(XY)(x,y)$.

Y non è una variabile casuale, è una funzione deterministica di trasformazione della variabile....

Mi ero confuso con un altro esercizio

Altra domanda: come la grafico la $F_Y(y)$ senza avere l'espressione nota della funzione $Phi$?

[Lo_zio_Tom]

Cerco di spiegarmi meglio. Col metodo grafico (che è sempre il migliore) ho subito ottenuto $F _Y $ e $f_Y $ in funzione di $Phi $ e $phi $, rispettivamente, dove:

$phi (x)=1/sqrt (2pi) e ^(-x^2/2)$

$Phi (x)=int_(-oo)^(x)phi (t)dt $.

L'esercizio finisce qui. Se devi fare il grafico di $F_Y (y )$ penso si possa studiare. I limiti te li ho già calcolati io

$F (-oo)=0$

$F (2)=1$

È sempre crescente dato che la sua derivata è una densità (e come vedi è la somma di due funzioni esponenziali ) e se vuoi vedere se ha un eventuale flesso prova a studiare il segno della derivata di $f_Y $, ma non ce l'ha.

Il tuo risultato della densità è corretto e coincide col mio

[Lo_zio_Tom]

"tommik":
Funzione di Ripartizione: $ F_Y (y)=1-Phi((2-y)/2)+Phi(2y-4) $


Funzione di densità: $f_Y (y)=1/2 phi((2-y)/2)+2phi(2y-4) $

tali espressioni, non rappresentando una legge nota ed avendo un'espressione complessa possono tranquillamente essere lasciate così, oltretutto sono entrambe in funzione di Gaussiane quindi non serve altro.

Per fare il grafico puoi usare un qualunque calcolatore (io ho usato semplicemente Excel, dove la $Phi$ è tabulata) oppure, come ti ho detto, non è difficile fare uno studio di funzione grossolano.

Ecco il grafico della Funzione di Ripartizione di Y

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Facciamo un caso diverso ma sulla stessa distribuzione:

Prendiamo una $X~ phi=N(0;1)$ e trasformiamola così: $Y=X^2$

Sempre con il metodo grafico otteniamo

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

$F_Y(y)=F_X(sqrt(y))-F_X(-sqrt(y))$

e funzione di densità (derivando la F)

$f_Y(y)=f_X(sqrt(y))1/(2sqrt(y))+f_X(-sqrt(y))1/(2sqrt(y))=1/sqrt(y)f_X(sqrt(y))$ (per le proprietà di simmetria della Gaussiana)

In questo caso, la densità si riconduce ad una legge nota quindi conviene trovarne la forma analitica:

$f_Y(y)=(1/2)^(1/2)/(Gamma(1/2))y^(1/2-1)e^(-y/2)~Gamma(1/2;1/2)=chi_((1))^2$

però anche qui, sebbene la legge trovata sia nota, l'espressione della CDF la lasciamo così come l'abbiamo trovata...oppure si può esprimere come funzione integrale della densità trovata....ma non cambia nulla

spero di aver chiarito bene l'argomento

ciao

[mbistato]

"tommik":
Funzione di Ripartizione: $ F_Y (y)=1-Phi((2-y)/2)+Phi(2y-4) $


Funzione di densità: $f_Y (y)=1/2 phi((2-y)/2)+2phi(2y-4) $

Sto notando un'altra cosa:

$ F_Y (+ infty)=1-Phi(- infty)+Phi(+infty)=1-0+1=2\ne 1$

[Lo_zio_Tom]

Noti male... perché il dominio di Y è $(-oo;2] $

Quindi $F (+oo)=F (2)=1-Phi (0)+Phi (0)=1$

[mbistato]

"tommik":Noti male... perché il dominio di Y è $(-oo;2] $

Quindi $F (+oo)=F (2)=1-Phi (0)+Phi (0)=1$

Giusto perchè $g(x)\leq 2$ !