Calcolo funzione di distribuzione

[Blizz1]

Ciao a tutti!

Il procedimento e la soluzione a cui sono giunto nel seguente esercizio sono corretti a parer vostro?



Procedimento:

Calcolo le densità di $X$ e di $Y$:

Per $X$: $f_1(t)=e^{-t}$
Per $Y$: $f_2(t)= \frac{1}{2}$

A questo punto divido il calcolo di $P(Z(\omega)
1): $P(X(\omega)Y(\omega)$

2): $P(Y(\omega)
Per tanto nel primo caso concluderei calcolando:
$int_0^t e^{-s} ds=...=-e^{-t}$ con $0
E nel secondo caso:
$int_t^2 \frac{1}{2} ds = ... = 1-\frac{t}{2}$ con $0
Grazie per l'aiuto!

[stenford23]

Si ma devi calcolare la probabilità congiunta che essendo in un caso di variabili indipendenti coincide col prodotto delle due probabilità.
Come hai fatto te mi sembra che abbia calcolato le marginali , io farei così:
Definito $ F_Z (t)=Prob(Z<=t)=Prob(max(X,Y)<=t)=Prob(X<=t,Y<=t)=Prob(X<=t)*Prob(Y<=t)=F_X(t)*F_Y(t) $
Che in questo caso sarà:
$ { ( (1-e^-t)*t /2),( 1-e^-t ):} $
Dove il primo varrà per $ t in [0,2] $ la seconda invece per $t in(2,+oo ) $

[Blizz1]

Ok il primo mi torna ma nel caso $t \in (2, \+infty)$:

$int_0^2 e^{-s} ds \* int_0^2 \frac{1}{2} ds =(1-e^{-2}) \* 1 = (1-e^{-2})$?

[stenford23]

Non ho capito perchè dici che $t in (2,+oo) $ e poi integri da $[0,2] $?
Se $t in (2,+oo) $ si ha che la cumulativa della uniforme è sempre 1 quindi bisogna "conteggiare" solo quella dell'esponenziale

[Blizz1]

Non ho ben capito allora. Quali sono precisamente i passaggi, quali integrali, hai svolto?

[stenford23]

Nessun integrale ho semplicemente moltiplicato le due funzioni di ripartizioni distinguendo i due casi:
$ t in [0,2] $ in cui la cumulativa dell'uniforme è $ t/2 $
$ t in (2,+oo) $ in cui la cumulativa della uniforme è sempre 1

[Blizz1]

Quindi dovrebbe essere:

$F_X(t) = int_0^t e^-s ds =(1-e^{-t})$ moltiplicato per $F_Y(t)=int_0^t \frac{1}{2} ds = \frac{t}{2}$ quando $0
e

$F_X(t) = int_0^t e^-s ds =(1-e^{-t})$ moltiplicato per $F_Y(t)=1$ quando $t>2$

Giusto?

[stenford23]

Esatto!

[Blizz1]

Ok ti ringrazio!