Calcolo distribuzioni marginali vettore aleatorio discreto
Ciao, ho un vettore aleatorio $X(X_1,X_2)$ avente distribuzione congiunta
$$p_X(x_1,x_2)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x_1}\left(\frac{1}{2}\right)^{x_2}\left(\frac{1}{4}\right)^{1-x_1-x_2}1_{\{0,1\}}(x_1)1_{\{0,1\}}(x_2)1_{\{0,1\}}(x_1+x_2)$$
Si vede che lo spazio campionario di $X$ è $S=\{(0,0),(0,1),(1,0)\}$ e lo spazio campionario di $X_1$ e $X_2$ sono $S_1=S_2=\{0,1\}$.
Adesso devo calcolare le due distribuzioni marginali. Ho ragionato cosi:
$$p_{X_1}(x_1)=\sum_{x_2\in S_2}p_X(x_1,x_2)=p_X(x_1,0)+p_X(x_1,1)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x_1}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(\frac{1}{4}\right)^{1-x_1-0}1_{\{0,1\}}(x_1)+\left(\frac{1}{4}\right)^{x_1}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}\left(\frac{1}{4}\right)^{1-x_1-1}1_{\{0,1\}}(x_1)=\frac{1}{4}1_{\{0,1\}}(x_1)+\frac{1}{2}$$
Ma non mi trovo con le soluzioni che scrive il testo.
$$p_X(x_1,x_2)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x_1}\left(\frac{1}{2}\right)^{x_2}\left(\frac{1}{4}\right)^{1-x_1-x_2}1_{\{0,1\}}(x_1)1_{\{0,1\}}(x_2)1_{\{0,1\}}(x_1+x_2)$$
Si vede che lo spazio campionario di $X$ è $S=\{(0,0),(0,1),(1,0)\}$ e lo spazio campionario di $X_1$ e $X_2$ sono $S_1=S_2=\{0,1\}$.
Adesso devo calcolare le due distribuzioni marginali. Ho ragionato cosi:
$$p_{X_1}(x_1)=\sum_{x_2\in S_2}p_X(x_1,x_2)=p_X(x_1,0)+p_X(x_1,1)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x_1}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(\frac{1}{4}\right)^{1-x_1-0}1_{\{0,1\}}(x_1)+\left(\frac{1}{4}\right)^{x_1}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}\left(\frac{1}{4}\right)^{1-x_1-1}1_{\{0,1\}}(x_1)=\frac{1}{4}1_{\{0,1\}}(x_1)+\frac{1}{2}$$
Ma non mi trovo con le soluzioni che scrive il testo.
Risposte
a me molto semplicemente viene così
$p_(X)(x)-={{: ( 0 , 1 ),( 3/4 , 1/4 ) :}$
$p_(Y)(y)-={{: ( 0 , 1 ),(1/2 , 1/2 ) :}$
che si possono anche scrivere come
$p_(X)(x)=((1),(x))(1/4)^x(3/4)^(1-x)$; $x=0,1$
$p_(Y)(y)=((1),(y))1/2$; $y=0,1$
ho usato $x$ e $y$ per alleggerire la notazione.
...se però mettessi anche le soluzioni del libro non sarebbe male, così uno controlla subito
$p_(X)(x)-={{: ( 0 , 1 ),( 3/4 , 1/4 ) :}$
$p_(Y)(y)-={{: ( 0 , 1 ),(1/2 , 1/2 ) :}$
che si possono anche scrivere come
$p_(X)(x)=((1),(x))(1/4)^x(3/4)^(1-x)$; $x=0,1$
$p_(Y)(y)=((1),(y))1/2$; $y=0,1$
ho usato $x$ e $y$ per alleggerire la notazione.
...se però mettessi anche le soluzioni del libro non sarebbe male, così uno controlla subito
Non capisco la tua notazione.
Il libro scrive:
$$p_{X_1}(x_1)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x_1}\left(\frac{3}{4}\right)^{1-x_1}1_{\{0,1\}}(x_1)$$
$$p_{X_2}(x_2)=\frac{1}{2}1_{\{0,1\}}(x_2)$$
Ma da quale calcolo ti viene fuori il termine $$\left(\frac{1}{4}\right)^{x_1}\left(\frac{3}{4}\right)^{1-x_1}$$?
Il libro scrive:
$$p_{X_1}(x_1)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x_1}\left(\frac{3}{4}\right)^{1-x_1}1_{\{0,1\}}(x_1)$$
$$p_{X_2}(x_2)=\frac{1}{2}1_{\{0,1\}}(x_2)$$
Ma da quale calcolo ti viene fuori il termine $$\left(\frac{1}{4}\right)^{x_1}\left(\frac{3}{4}\right)^{1-x_1}$$?
esattamente come ho scritto io.....solo che io ci ho messo davanti il coefficiente binomiale $((1),(x))$ che vale sempre uno...ma è per evidenziare che la variabile è una bernulli
Ma non capisco come fanno a venirti fuori quei termini. Ad esempio io ottengo:
$$p_{X_1}(x_1,0)=\frac{1}{4}1_{\{0,1\}}(x_1)$$
e
$$p_{X_1}(x_1,1)=\frac{1}{2}$$
$$p_{X_1}(x_1,0)=\frac{1}{4}1_{\{0,1\}}(x_1)$$
e
$$p_{X_1}(x_1,1)=\frac{1}{2}$$
"mbistato":
Ma da quale calcolo ti viene fuori il termine $$\left(\frac{1}{4}\right)^{x_1}\left(\frac{3}{4}\right)^{1-x_1}$$?
Il modo più semplice ed evidente è quello di scrivere la variabile $p(x,y)$ in forma tabellare.
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
E le marginali le vedi subito "ai margini" della tabella: sono due variabili bernulliane, una di parametro $p=1/4$ e l'altra di parametro $p=1/2$
"mbistato":
Ma non capisco come fanno a venirti fuori quei termini. Ad esempio io ottengo:
$$p_{X_1}(x_1,0)=\frac{1}{4}1_{\{0,1\}}(x_1)$$
e
$$p_{X_1}(x_1,1)=\frac{1}{2}$$
sì però nel secondo caso $X_1$ vale 0 e quindi poi devi sommare le probabilità sul dominio di $X_1$ e ti ritrovi con il risultato giusto, ovvero che $P(X_1=0)=3/4$ mentre $P(X_1=1)=1/4$
Si ok adesso mi è chiaro. Grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo