Calcolo distribuzione di una variabile aleatoria

[pablodrum]

Testo esercizio:
Siano X e Y variabili aleatorie indipendenti esponenziali di parametro LAMDA. Calcola la distribuzione di U=X/(X+Y).

Ciao, ho provato a svolgere questo esercizio tramite cambio di variabile (u=X/X+Y e v=X). Sono arrivata alla conclusione che U sia un'uniforme sull'intervallo [0,1] ma non sono sicura che sia giusto.
Attendo risposta
Grazie in anticipo!

[Lo_zio_Tom]

"pablodrum":Sono arrivata alla conclusione che U sia un'uniforme sull'intervallo [0,1] ma non sono sicura che sia giusto.
Attendo risposta

dormi tranquilla

PS: la prossima volta ricorda di mettere anche i passaggi così il tuo topic sarà utile anche ad altri utenti. Ricorda inoltre che in questo forum è gradito che le [formule][/formule] vengano scritte con l'apposito compilatore

[pablodrum]

Grazie della risposta. Allego un'accenno di soluzione così da essere di aiuto anche per altre persone.

Sia $ u= X/(X+Y) $ e $ v=X $. Considero il cambio di variabile $ phi^-1 (u,v) $ = ( $ v/u -v, v $).
Calcolo il modulo del determinante del differenziale di $ phi^-1 (u,v) $
$ phi^-1 (u,v)| (- v/u^2 , 1/u-1),( 0 , 1) | $ il cui risultato è $ v/u^2 $
Sappiamo che la congiunta di U e V è
g(u,v)= $ lambda ^2*v/u^2*e^(-lambda*v/u) $
La densità di U si calcola come prima marginale di g

g(u)= $ int_(0)^(+oo ) lambda ^2*v/u^2*e^(-lambda*v/u) dv $
Si integra tra o e $ +oo $ in quanto X e Y, essendo esponenziali, sono definite per valori della variabile compresi tra o e $ +oo $
Integrando per parti ottengo:
g(u)=1. Riconosciamo quindi la densità di una variabile aleatoria uniforme su $ (0,1] $.