Calcolo di una trasformazione (v.a. continue)

[WhiteSte]

Un altro esercizio per voi, ho cercato in giro sul forum casi simili, ma non ho trovato risposta alla mia domanda

Siano $X$ e $Y$ i.i.d. con $X, Y ∼ U([0, 1])$. Si definisca $U := XY + 1 − X$.
(i) si calcoli la densità congiunta di $(Y, U)$;
(ii) si calcoli la densità di $U$;
(iii) si calcoli il coefficiente di correlazione $ρ$ tra $Y$ e $U$

Per il punto 1, ho usato due metodi di risoluzione che portano a due risultati diversi, quindi è palese che da qualche parte c'è un buco
(i)
METODO 1, CAMBIO VARIABILE
ho bisogno di 4 elementi
. $f_(x,y)$ essendo due uniformi iid, $-> 1$
. $phi_(x,y)$ $->(y,xy,1-x)$
. $phi^(-1)(u,v)$ $-> (u,(u-1)/(v-1))$
.$det|J|$ $= 1 /|u-1|$ ma $0
ora applico $f_(u,v) =f_(x,y)(phi^-1(u,v))*|det J| = 1/(u-1) = 1/(y+1)$

Con funzione di riparizione
$F_u(u) = mathbb(P)(U<=u) = mathbb(P)(XY+1-X<=u) = mathbb(P)(X<=(u-1)/(Y-1)) = F_X((u-1)/(y-1))$
$F_X(x)= x -> F_u(u) = (u-1)/(y-1)$
mi sono accorto in questo momento che devo derivare la funzione di ripartizione, stavo uguagliando congiunta con $F_U$ , per quello non tornavano i conti comunque già che ci sono scrivo tutto l'esercizio
$f_u(u)= F'(u)= 1/(y+1)$
$f_Y=1 -> f_(y,u) = 1/(y+1)$ che è il prodotto delle marginali, essendo x,y iid.

ii)
già trovata a questo punto, quindi il metodo con funzione di ripartizione sarebbe più efficace

iii) il coeff di correlazione è 0 perchè essendo indipendenti $Cov(Y,U)=0$ no?

[Lo_zio_Tom]

tutto da rifare.....

Punto i): calcolare la densità congiunta $(Y,U)$

Non la vedo da nessuna parte nei tuoi conti. Per determinare la congiunta l'unico metodo che mi viene in mente è quello del cambio di variabile come hai fatto tu....solo che hai pasticciato parecchio.
Ecco come fare (prova a risolvere prima di guardare la soluzione che ho messo in spoiler)

${{: ( u=xv+1-x ),(y=v ) :}$

calcolo il $|det[J]|$

$|det[ ( (partialu)/(partialx) , (partialu)/(partialv) ),( (partialy)/(partialx) , (partialy)/(partialv) ) ]|= |det[ ( (v-1) , x ),( 0, 1) ]|=|v-1|=|y-1|=1-y$

Inoltre notiamo che

1) $0 2) $0 3) $0
però è anche vero che $x=(1-u)/(1-y)$

e quindi deve valere anche $0

In definitiva la densità congiunta richiesta viene così (ci ho messo anche le funzioni indicatrici che ti piacciono tanto... )

$f_(UY)(u,y)=1/(1-y)mathbb{1}_((0;1))(y)mathbb{1}_((y;1))(u)$

Da qui si vede subito le variabili $Y,U$ non sono indipendenti (il dominio è un triangolo mentre per essere indipendenti la condizione necessaria è che il dominio sia rettangolare)

Punto ii) Calcolare la densità marginale di $U$

intergri la densità congiunta rispetto a $Y$ e di conseguenza risulta

$f_U(u)=-log(1-u)mathbb{1}_((0;1))(u)$

Punto iii) calcolare il coefficiente di correlazione fra $Y,U$

Usa la definizione...tieni presente che la covarianza viene $cov(Y,U)=1/24$

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[WhiteSte]

"tommik":

calcolo il $|det[J]|$

$|det[ ( (partialu)/(partialx) , (partialu)/(partialv) ),( (partialy)/(partialx) , (partialy)/(partialv) ) ]|= |det[ ( (v-1) , x ),( 0, 1) ]|=|v-1|=|y-1|=1-y$

allora, qua devi perdonarmi, analisi 2 devo ancora passarlo come esame
io ho capito il concetto di jacobiana, se la mia funzione è
$phi^(-1)(u,v) ->(v,(u-1)/(v-1))$ nella prima riga metto la derivata di $v$ su $v$ e su $u$, nella secondo riga la derivata di $(u-1)/(v-1)$ rispettivamente su $v,u$ .
non mi torna come ci sia x nella tua jacobiana, la mia risulta sempre $J=| ( 1 , 0 ),( -(v-1)/(u-1)^2 , 1/(v-1) ) | $

un altro dubbio che mi è venuto adesso, il testo chiede la congiunta $(Y,U)$ che è diversa da $(U,Y)$ giusto? sarebbe la funzione esattamente opposta in segno, infatti a te la $x=(1-u)/(1-v)$ viene opposta alla mia

EDIT:
a me il determinante viene $1/(v-1) ->1/(y-1)$ perchè $v,y$ coincidono. adesso però io volevo il $|det|$, $0

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[Lo_zio_Tom]

il determinate lo puoi calcolare in entrambi i modi.

Io ho derivato rispetto a $x$ e $v$ e poi per trovare la congiunta ho fatto $f_(YU)=1/(|det[J]|)$. Se invece derivi rispetto a $y$ e $u$ poi moltiplichi per il determinate invece di dividere. La congiunta $(U,Y)$ oppure $(Y,U)$ (non cambia nulla) viene sempre

$f_(YU)=1/(1-y)$

Come ho fatto io fai meno conti.

l'unica difficoltà è capire il dominio. Una volta capito quello integri su tutto Y ottenendo la densità marginale di U

$f_U=int_0^u 1/(1-y)dy=-log(1-u)$


Leggi bene cosa ho scritto...dovrebbe essere chiaro, altrimenti devi fare un po si integrali doppi per prendere confidenza

[WhiteSte]

sisi tutto chiaro. la funzione di densità non dovrebbe essere allora
$f_(uv) = 1/(1-y)1_((0;u))(y)1_((y;1))(u) $
mentre tu hai messo il dominio di y come $1_((0;1))(y)$

[Lo_zio_Tom]

No, è come ti ho detto. il dominio è un triangolo

$mathbb{1}_((0;1))(y)mathbb{1}_((y;1))(u)$


oppure

$mathbb{1}_((0;u))(y)mathbb{1}_((0;1))(u)$

[WhiteSte]

ultimissima cosa,
$Cov(U,Y)=1/24$ mi hai detto
$Cov(U,Y):=E[UY]-EE[Y]$
e anche qua mi sto spaccando di conti...
per trovare $E[UY]$ ho fatto il doppio integrale della congiunta, $int_0^1int_0^y uy f_(UY) dydu =5/12$
$E[Y] = 1$ perchè $f_y=1$
$E =3/4$ applicando $int_0^1-u log(1-u)du$
quindi mi viene che $Cov(UY) = 5/12-3/4 = -1/3$

in compenso credo di aver capito una cosa, se analizzo le marginali a parte variano tra $0,1$ mentre se le analizzo insieme trattando la congiunta il dominio è il triangolo giusto?

[Lo_zio_Tom]

È tutto giusto tranne $mathbb{E}[Y]$ che fa $1/2$

Certo però che per complicarti la vita.....

Sai che per una uniforme $U(a;b)$ hai

$mathbb{E}[X]=(a+b)/2=1/2$

$V[X]=(b-a)^2/12=1/12$

e quindi $mathbb{E}[X^2]=1/12+(1/2)^2=1/3$

Ora calcoliamo

$mathbb{E}[XY^2+Y-XY]-mathbb{E}[XY+1-X]mathbb{E}[Y]=" per l'indipendenza fra X e Y"

=1/2 1/3+1/2-1/4-(1/4+1-1/2)1/2=...=1/24$


^^^^^^^^^^^^^^
Sì il dominio marginale è sempre $(0;1)$ quello congiunto no perché le variabili $(U;Y)$ dipendono una dai valori assunti dall'altra quindi ne fissi una a scelta e l'altra la fai variare di conseguenza

"WhiteSte":
e anche qua mi sto spaccando di conti...

...l'unico modo per evitarlo è studiare bene la teoria

[WhiteSte]

No vabbè ahahah ho perso una serata a fare quell'integrale ahahah. Purtroppo io la teoria in sé faccio fatica a studiarla, di solito la imparo facendo miriadi di esercizi e so bene che vuol dire sanguinare molto. Conta che se ne metto 1 qua sul forum ne ho fatti almeno altri 10.. comunque grazie, se passo questo benedetto esame metà del merito sarà tuo