Calcolo di una Cdf (funzione cumulata)
Salve a tutti, ho un problema che mi chiede di calcolare la Cdf in una v.a. data la sua pdf (funzione di densità).
La pdf è $f_X (x) = \{(0.16, if 0
Io ho ragionato in questo modo:
So che la Cdf, conoscendo la pdf si calcola $F_X (x) =\int_{-infty}^{x} f_X (x) dx$
Nel mio caso ho calcolato così $F_X (x) = \{(\int_{0}^{x} 0.16 dx =0.16x, if 015):}$
Come ragionamento mi sembra sia giusto, il mio dubbio sta nel secondo integrale perchè graficamente non dovrebbe essere così la Cdf, ovvero $\int_{5}^{x} 0.02 dx=0.02x-0.1, if 5
Cosa ho sbagliato?
Grazie a chi risponderà
La pdf è $f_X (x) = \{(0.16, if 0
Io ho ragionato in questo modo:
So che la Cdf, conoscendo la pdf si calcola $F_X (x) =\int_{-infty}^{x} f_X (x) dx$
Nel mio caso ho calcolato così $F_X (x) = \{(\int_{0}^{x} 0.16 dx =0.16x, if 0
Come ragionamento mi sembra sia giusto, il mio dubbio sta nel secondo integrale perchè graficamente non dovrebbe essere così la Cdf, ovvero $\int_{5}^{x} 0.02 dx=0.02x-0.1, if 5
Cosa ho sbagliato?
Grazie a chi risponderà
Risposte
la CDF è la funzione "cumulata" quindi nel secondo integrale devi sommare anche $F_(X)(5)$
Così tutto torna e la tua CDF risulterà continua in tutto $RR$
Inoltre, per la precisione, devi indicare anche quanto vale la $F_(X)(x)$ per $x<=0$
(a volte lo si lascia sottinteso, ma in un esercizio così va indicato)
Infine, sempre per precisione, se metti $x$ come estremo di integrazione devi indicare un'altra variabile come integranda, es: $t$
Così tutto torna e la tua CDF risulterà continua in tutto $RR$
Inoltre, per la precisione, devi indicare anche quanto vale la $F_(X)(x)$ per $x<=0$
(a volte lo si lascia sottinteso, ma in un esercizio così va indicato)
Infine, sempre per precisione, se metti $x$ come estremo di integrazione devi indicare un'altra variabile come integranda, es: $t$
Grazie per la risposta tommik.
Se nel secondo integrale, che viene $0.02x-0.1$, vado a sommare $F_X (5)$ viene $0.02x+0.7$ ma dovrebbe venire $0.02x+0.8$
Hai ragione ho dimenticato di sommare la $F_X (5)$ ma comunque poi non mi trovo con la soluzione grafica, c'è quel $"-0.1"$ di più.
p.s. ho scritto velocemente e ho sbagliato ad usare la stessa variabile. Chiedo scusa.
Se nel secondo integrale, che viene $0.02x-0.1$, vado a sommare $F_X (5)$ viene $0.02x+0.7$ ma dovrebbe venire $0.02x+0.8$
Hai ragione ho dimenticato di sommare la $F_X (5)$ ma comunque poi non mi trovo con la soluzione grafica, c'è quel $"-0.1"$ di più.
p.s. ho scritto velocemente e ho sbagliato ad usare la stessa variabile. Chiedo scusa.
No è giusto come hai fatto.
Nel secondo intervallo hai $F=0.7+0.02x$
prova e vedi che $F(5^+)=0.8$ e $F(15)=1$ come correttamente deve essere.
Perché dici che deve essere $F=0.8+0.02x$? non vedi che in questo caso avresti $F(5)=0.9$ (punto di discontinuità) e soprattutto $F(15)>1$????
[ot]Spero che tu abbia seguito il mio consiglio di BUTTARE via gli appunti che, purtroppo, ti hanno venduto....[/ot]
Nel secondo intervallo hai $F=0.7+0.02x$
prova e vedi che $F(5^+)=0.8$ e $F(15)=1$ come correttamente deve essere.
Perché dici che deve essere $F=0.8+0.02x$? non vedi che in questo caso avresti $F(5)=0.9$ (punto di discontinuità) e soprattutto $F(15)>1$????
[ot]Spero che tu abbia seguito il mio consiglio di BUTTARE via gli appunti che, purtroppo, ti hanno venduto....[/ot]
Tommik, si ho seguito il tuo consiglio, questi esercizi sono quelli del libro di fine capitolo e nelle soluzioni così c'è scritto. Per questo cercavo di capire dove fosse l'errore. In effetti io mi trovavo con il mio ragionamento (ovviamente mi ero dimenticato di aggiungerci la $F_X (5)$) e la tuo osservazione sul punto di discontinuità ha confermato che il mio ragionamento non è errato. Probabilmente sarà stato un errore nella scrittura delle soluzioni del libro.
Se vuoi posso inserire il link di uno screen sia dell'esercizio che della soluzione.
Se vuoi posso inserire il link di uno screen sia dell'esercizio che della soluzione.
"Gradiente":
Se vuoi posso inserire il link di uno screen sia dell'esercizio che della soluzione.
non serve...un errore di stampa può esserci dovunque....l'importante è che tu abbia capito.
Nota anche che la CDF in questione è calcolabile anche senza scomodare gli integrali...basta infatti calcolare le aree dei rettangoli della pdf
Giusto, poichè la Cdf è l'area sottesa alla curva della pdf che in questo caso essendo costante è facilmente calcolabile.
Grazie di tutto!
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