Calcolo densità probabilità

[squall901]

Salve a tutti
Dovrei risolvere il seguente esercizio:
Siano X e Y variabili aleatorie uniformi e indipendenti rispettivamente sugli intervalli [0;3] e [0;4].
Calcolare la densità di XY.
Io ho svolto l'esercizo in questo modo:
il codominio di XY è l'intervallo [0;12]. La densità di X è 1/3 nell'intervallo [0;3] e 0 nel complementare. La densità di Y è 1/4
nell'intervallo [0;4] e 0 nel complementare. Da questo riesco a calcolarmi che la funzione di ripartizione di X è x/3 nell'intervallo [0;3], 1 in [3;+infinito] e 0 nel complementare mentre per Y è y/4 nell'intervallo [0;4] 1 in [4;+infinito]e 0 nel complementare.
Quindi ho pensato di calcolarmi la funzione di ripartizione di XY e poi derivare:
P(XY12 la f.r. è 1 e 0 negli altri casi. Derivando ottengo 1/12.
Mi hanno corretto dicendo che la funzione di ripartizione è: (z/12)ln(12/z).
Sostituendo z=12 otterrei 0 nell'ultima funzione ma so che la f.r. mi dice la probabilità che una variabile aleatoria sia più piccola di un numero fissato. Quindi se il codominio di XY è [0;12] la sua f.r. in 12 dovrebbe essere 1 e non 0.
Chi ha ragione?

[porzio1]

rappresentiamo nel riferimento cartesiano il rettangolo $[0,3] times [0,4]$
consideriamo la curva $xy=z$ , con $0 per $0 $P(Zleqz)= 1/12int_(0)^(z/4) dx int_(0)^(4) dy+1/12int_(z/4)^(3) dx int_(0)^(z/x) dy=z/12(1+ln(12/z)) $

$P(Z=0)=0$