Calcolo densità marginali e media(caso continuo)
(Ari)Buongiorno 
Sto continuando con lo studio del calcolo delle probabilità e mi sono bloccato ad un esercizio che mi sta portando un pò di difficoltà
Siano $X$ e $Y$ due v.a con densità congiunta data da $f_(X,Y)(x,y)=1/ye^(-y-x/y)$ 1${x>0,y>0}$
Calcolare le densità marginali ed $E(X),E(Y),COV(X,Y),E(X^3|Y)$
quello che sono riuscito a fare è ben poco perchè mi blocco sugli integrali(personalmente mi sembra più un esercizio di analisi questo ma forse mi sbaglio)
calcolo la
$f_Y(y)=\int_{-infty}^{infty} f(x,y) dx =\int_{0}^{infty} 1/ye^(-y-x/y) dx=e^-y\int_{0}^{infty} 1/ye^-(x/y)dx=e^-y$ (integrale =1 perchè è gamma)
passo a $E(Y)=\int_{0}^{infty} ye^-ydy=-e^-y y|_{0}^{infty}+1$ dovrebbe valere $E(Y)=1$
questo è quello che sono riuscito a fare
per l'altra densità marginale ho difficoltà a risolvere l'integrale e quindi anche gli altri punti
$f_X(x)=\int_{-infty}^{infty} f(x,y) dy=int_{0}^{infty}1/ye^(-y-x/y)dx$
ho posto $1/y=z$ ma non mi porta da nessuna parte
Grazie a chi è disposto ad aiutarmi
Sto continuando con lo studio del calcolo delle probabilità e mi sono bloccato ad un esercizio che mi sta portando un pò di difficoltà
Siano $X$ e $Y$ due v.a con densità congiunta data da $f_(X,Y)(x,y)=1/ye^(-y-x/y)$ 1${x>0,y>0}$
Calcolare le densità marginali ed $E(X),E(Y),COV(X,Y),E(X^3|Y)$
quello che sono riuscito a fare è ben poco perchè mi blocco sugli integrali(personalmente mi sembra più un esercizio di analisi questo ma forse mi sbaglio)
calcolo la
$f_Y(y)=\int_{-infty}^{infty} f(x,y) dx =\int_{0}^{infty} 1/ye^(-y-x/y) dx=e^-y\int_{0}^{infty} 1/ye^-(x/y)dx=e^-y$ (integrale =1 perchè è gamma)
passo a $E(Y)=\int_{0}^{infty} ye^-ydy=-e^-y y|_{0}^{infty}+1$ dovrebbe valere $E(Y)=1$
questo è quello che sono riuscito a fare
per l'altra densità marginale ho difficoltà a risolvere l'integrale e quindi anche gli altri punti
$f_X(x)=\int_{-infty}^{infty} f(x,y) dy=int_{0}^{infty}1/ye^(-y-x/y)dx$
ho posto $1/y=z$ ma non mi porta da nessuna parte
Grazie a chi è disposto ad aiutarmi
Risposte
E' un esercizio un po' "tricky"... la densità di X l'hai gia calcolata, è questa
$f_X(x)=\int_0^(oo) 1/ye^(-(y+x/y))dy$
non necessariamente devi trovare una primitiva espressa in termini elementari.
Puoi proseguire da qui...
intanto sai che la densità condizionata è $(X|Y=y)~exp(1/y)$ cioè la densità condizionata è una esponenziale di media $y$....vai avanti così
per calcolare la media di X puoi farlo tranquillamente
$\mathbb{E}[X]=\int_0^(oo)\int_0^(oo)xf(x,y)dxdy$
... e questo si risolve facilmente essendo
$
\mathbb{E}[X] =\int_0^{\infty}x e^{-x/y}dx\int_0^{\infty}\frac{1}{y} e^{-y}dy=\int_0^{\infty}(x/y) e^{-x/y}d(x/y)\int_0^{\infty}y e^{-y}dy=1\times1=1$
per il resto puoi andare avanti come al solito
Ad esempio, per calcolare il momento terzo condizionato, inizia con l'osservare che i momenti semplici della exp neg sono
$E(X^n)=\int_0^{oo}x^n theta e^(-\theta x)dx=1/(theta^n)\underbrace{\int_0^(oo)(theta x)^n e^(-theta x) d(theta x)}_{=Gamma(n+1)=n!}=(n!)/(theta^n)$
quindi nel tuo caso hai
$E(X^3|Y=y)=(3!)/(1/y)^3=6y^3$
Ho risolto tutto io...manca la covarianza che ti lascio per esercizio
$f_X(x)=\int_0^(oo) 1/ye^(-(y+x/y))dy$
non necessariamente devi trovare una primitiva espressa in termini elementari.
Puoi proseguire da qui...
intanto sai che la densità condizionata è $(X|Y=y)~exp(1/y)$ cioè la densità condizionata è una esponenziale di media $y$....vai avanti così
per calcolare la media di X puoi farlo tranquillamente
$\mathbb{E}[X]=\int_0^(oo)\int_0^(oo)xf(x,y)dxdy$
... e questo si risolve facilmente essendo
$
\mathbb{E}[X] =\int_0^{\infty}x e^{-x/y}dx\int_0^{\infty}\frac{1}{y} e^{-y}dy=\int_0^{\infty}(x/y) e^{-x/y}d(x/y)\int_0^{\infty}y e^{-y}dy=1\times1=1$
per il resto puoi andare avanti come al solito
Ad esempio, per calcolare il momento terzo condizionato, inizia con l'osservare che i momenti semplici della exp neg sono
$E(X^n)=\int_0^{oo}x^n theta e^(-\theta x)dx=1/(theta^n)\underbrace{\int_0^(oo)(theta x)^n e^(-theta x) d(theta x)}_{=Gamma(n+1)=n!}=(n!)/(theta^n)$
quindi nel tuo caso hai
$E(X^3|Y=y)=(3!)/(1/y)^3=6y^3$
Ho risolto tutto io...manca la covarianza che ti lascio per esercizio
"tommik":
$\mathbb{E}[X] =\int_0^{\infty}x e^{-x/y}dx\int_0^{\infty}\frac{1}{y} e^{-y}dy=\int_0^{\infty}(x/y) e^{-x/y}d(x/y)\int_0^{\infty}y e^{-y}dy=1\times1=1$
qui hai fatto una sostituzione giusto? Come se io facessi $x/y=z$ -> $dx=dzy$
avrò
$\int_0^{infty}ze^-zdzy\int_0^{\infty}1/ye^(-y)dy$ sono i soliti integrali dove la y si semplica nel secondo che valgono 1
poi dici che la densità condizionata è un esponenziale come fai a dirlo?
io ho pensato di moltiplicare la $f_Y(y) f(x,y)= 1/ye^-(2y-x/y)$ poi un'altra curiosità
io la media $E(Y)$ l ho calcolata con un integrale semplice rispetto a x è un errore?
per il resto dell'esercizio più tardi cercherò di farlo(studiando anche il momento terzo) e magari posterò la soluzione così da chiudere il topic
ovviamente non posso che ringraziarti ancora una volta tommik
Grazie
1) sì, sostituzione o meglio "riconduzione" a funzioni gamma ... nei tuoi calcoli ti sei dimenticato una $y$
2) per definizione, $f(x|y)=(f(x,y))/(f(y))=1/y e^(-x/y)$ che non è altro che una denistà del tipo $f=\theta e^{-\theta x}$ dove $theta=1/y$
3) la media si può calcolare in diversi modi; ad esempio
$E(X)=int x f(x)=int int xf(x,y)dxdy$
dato che qui $f(x)$ non ce l'hai devi usare l'altro modo. Oltretutto, usando l'espressione implicita della $f(x)$ a cui sei arrivato, anche usando la solita formula per la media trovi esattamente l'espressione che ho usato io.
La covarianza non è un problema, dato che calcolando $E(XY)$ la "maledetta" $y$ al denominatore se ne va.
$E(XY)=\int int xy f(x,y)dxdy=\int_0^(oo)x/y e^(-x/y)d(x/y)\int_0^(oo)y^2 e^(-y)dy=2$
quindi $Cov(X,Y)=2-1=1$
2) per definizione, $f(x|y)=(f(x,y))/(f(y))=1/y e^(-x/y)$ che non è altro che una denistà del tipo $f=\theta e^{-\theta x}$ dove $theta=1/y$
3) la media si può calcolare in diversi modi; ad esempio
$E(X)=int x f(x)=int int xf(x,y)dxdy$
dato che qui $f(x)$ non ce l'hai devi usare l'altro modo. Oltretutto, usando l'espressione implicita della $f(x)$ a cui sei arrivato, anche usando la solita formula per la media trovi esattamente l'espressione che ho usato io.
La covarianza non è un problema, dato che calcolando $E(XY)$ la "maledetta" $y$ al denominatore se ne va.
$E(XY)=\int int xy f(x,y)dxdy=\int_0^(oo)x/y e^(-x/y)d(x/y)\int_0^(oo)y^2 e^(-y)dy=2$
quindi $Cov(X,Y)=2-1=1$
Scusa il ritardo. Ci sono so tutto. Ammetto che il momento terzo non ci sarei mai arrivato a quell'espressione da te scritta,ma attraverso la fgm sono arrivato allo stesso risultato. Grazie mille alla prossima 
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