Calcolo densità marginale

[raffgamb]

Sia $(X, Y )$ un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sul parallelogramma individuato dalle rette $y=0, y=1, y=x , y=x−1$. Calcolare le funzioni marginali \(\displaystyle f_x\) e \(\displaystyle f_y\).
Sapendo che l'area del parallelogramma è $1$, ho ricavato che $k=1$.
Ho calcolato la funzione marginale di $x$:


\(\displaystyle f_X\)$(x)$$=$ ${(0, x<0), (\int_{0}^{x}1dy\, 0<=x<1 ), (\int_{x-1}^{1}1dy\, 1<=x<2 ), (0 ,x>=2))$




Non riesco a capire come fare la marginale rispetto alla y.Qualcuno potrebbe darmi una mano o dirmi se è sbagliato?

[Lo_zio_Tom]

$f_Y(y)=int_(y)^(y+1)dx=y+1-y=mathbb{1}_([0;1])(y)$

Viene una uniforme su$ [0;1]$

La $f_X$ è giusta. Finisci i conti e trovi una distribuzione triangolare

$f_X(x)=[1-|1-x|]mathbb{1}_((0;2))(x)$

(L'ho scritta in modo compatto ma è identica alla tua....)

[raffgamb]

Grazie mille,ma avevo dimenticato di scrivere anche che c'è da trovare la funzione di ripartizione di $Z=3x-1$

[Lo_zio_Tom]

E quindi? Dovrei fare i conti al posto tuo? Ti pare complicato trovare la distribuzione di una trasformazione lineare di una variabile aleatoria?

Va beh dai... ecco come fare:

$F_Z(z)=mathbb{P}(Z<=z)=mathbb{P}(3X-1<=z)=mathbb{P}(X<=(z+1)/3)=F_X((z+1)/3)$

[raffgamb]

Chiedo scusa, ma non so farlo,tutto qui. Altrimenti non avrei fatto la domanda

[Lo_zio_Tom]

"Non so farlo" non è una frase che mi piace....si studia la teoria e poi si fa....per questa volta ti ho scritto anche la soluzione....come vedi ho risolto in due passaggi con la definizione di FdR. Ovviamente devi ancora calcolare $ F_X(x)$

[raffgamb]

Grazie mille, veramente!