Calcolo densità congiunta note le densità marginali

[irelimax]

Ciao,
devo trovare la funzione di densità della variabile Z=X+W dove X ha funzione di densità $f_X(x)=2e^{-2x)$ e W è una gamma con parametri $\nu=1$ e $\lambda=2$. Inoltre so che X e W sono ortogonali.

Adesso so che il calcolo della funzione di densità si riconduce al calcolo della seguente probabilità
$$P(Z\leq z)=P(X+W\leq z)=P(X\leq z-W)$$
che equivale a calcolare l'integrale esteso al dominio identificato dall'equazione $x\leq z-w$ della funzione congiunta $f_{X,W}$.
Il problema è che non mi pare sia possibile calcolare tale funzione congiunta nemmeno utilizzando l'ipotesi di ortogonalità tra le due variabili. Credo manchino ulteriori dati nel testo!?

[Lo_zio_Tom]

sì, sono d'accordo.
La sola ipotesi di ortogonalità, ovvero $E(XW)=0$ non è sufficiente per catturare tutta la dipendenza fra le variabili, a meno di non essere in casi particolari (modello gaussiano con almeno una delle due medie nulle)

Ps: quando scrivi distribuzione gamma sarebbe opportuno scriverne anche la densità, dato che ci sono diverse parametrizzazioni.....

[irelimax]

Si hai ragione. Nel mio caso è questa:
$$f_W(w)=\frac{1}{\Gamma(\nu)}\lambda^{\alpha}x^{\alpha -1}e^{-\lambda x}$$

[Lo_zio_Tom]

"irelimax":Si hai ragione. Nel mio caso è questa:
$$f_W(w)=\frac{1}{\Gamma(\nu)}\lambda^{\alpha}x^{\alpha -1}e^{-\lambda x}$$

che non è una gamma....questa addirittura ha 3 parametri: $alpha, lambda,v$ più una $x$ che non si capisce cosa sia, dato che la densità è una $f_W(w)$

QUI trovi le due principali parametrizzazioni, ma ne esistono altre....

[irelimax]

"tommik":[quote="irelimax"]Si hai ragione. Nel mio caso è questa:
$$f_W(w)=\frac{1}{\Gamma(\nu)}\lambda^{\alpha}x^{\alpha -1}e^{-\lambda x}$$

[/quote]

Perdono volevo dire:
$$f_W(w)=\frac{1}{\Gamma(\nu)}\lambda^{\nu}w^{\nu -1}e^{-\lambda w}$$