Calcolo delle probabilità - Variabili aleatorie continue
Salve a tutti, come vedete sono un nuovo iscritto al forum e chiedo il vostro aiuto per una spiegazione sull'argomento delle variabili aleatorie assolutamente continue nel calcolo delle probabilità.
Secondo la teoria che ho studiato $F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(s) ds$ dove con $F_X(x)$ è indicata la funzione di ripartizione (f.d.r.) mentre con $f_X(x)$ è indicata la densità della variabile aleatoria assolutamente continua $X$.
Bene fino a qua mi sembra di aver capito, anche perché non indagando oltre non c'è molto da capire... Il problema si presenta quando mi metto a fare degli esercizi.
Prendiamo il caso in cui la densità è
$f_X(x)={(4x^3,if x in (0,1)),(0,if x notin (0,1)):}$
ed è necessario trovare la f.d.r.
Il risultato è
$F_X(x):={(0,if x<0),(x^4,if 0<=x<1),(1,if x>=1):}$
Il valore della f.d.r. per $x<0$ e per $x>=1$ lo do quasi per scontato, anche se intuisco solamente il perché senza avere un procedimento "meccanico" con cui ottenerlo.
Nella soluzione viene indicato che per $0<=x<1$ si calcola la f.d.r. come $F_X(x)=int_0^x 4s^3 ds=x^4$
Nel calcolo dell'integrale nessun problema, per il fatto che sia un integrale definito tra $0$ e $x$ anziché tra $-\infty$ e $x$ me lo spiego supponendo che la f.d.r. per $x<0$ è già stata calcolata e si possa quindi partire nell'integrazione dallo $0$ (capisco anch'io che come spiegazione fa un po' schifo, ma non ho trovato nulla a riguardo).
In qualche modo sino a qui me la cavo, il vero problema viene ora.
Prendiamo come esempio la seguente densità
$f_X(x)={(x/25,if 0
Per prima cosa sia che per $x<0$, $F_X(x)=0$ e che per $x>=10$, $F_X(x)=1$; poi, procedendo come prima, per $0<=x<5$, $F_X(x)=int_0^x s/25 ds=x^2/50$.
Bene, arriviamo finalmente al nocciolo, cioè calcolare la f.d.r. per $5<=x<10$; quali sono gli estremi di integrazione?
Ho calcolato sia $int_0^x -s/25+2/5 ds$ (anche se non mi sembra molto sensato), sia $int_5^x -s/25+2/5 ds$ (che mi sembra già più sensato) ma nessuno dei due mi porta al risultato fornito dal libro cioè $F_X(x)=-x^2/50+2/5x-1$ (per $5<=x<10$).
Il discorso si ripete con altri esempi dell'eserciziario e non sono ancora riuscito a capire quali devono essere gli estremi di integrazione...
Spero in un vostro aiuto e nel frattempo vi ringrazio
Secondo la teoria che ho studiato $F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(s) ds$ dove con $F_X(x)$ è indicata la funzione di ripartizione (f.d.r.) mentre con $f_X(x)$ è indicata la densità della variabile aleatoria assolutamente continua $X$.
Bene fino a qua mi sembra di aver capito, anche perché non indagando oltre non c'è molto da capire... Il problema si presenta quando mi metto a fare degli esercizi.
Prendiamo il caso in cui la densità è
$f_X(x)={(4x^3,if x in (0,1)),(0,if x notin (0,1)):}$
ed è necessario trovare la f.d.r.
Il risultato è
$F_X(x):={(0,if x<0),(x^4,if 0<=x<1),(1,if x>=1):}$
Il valore della f.d.r. per $x<0$ e per $x>=1$ lo do quasi per scontato, anche se intuisco solamente il perché senza avere un procedimento "meccanico" con cui ottenerlo.
Nella soluzione viene indicato che per $0<=x<1$ si calcola la f.d.r. come $F_X(x)=int_0^x 4s^3 ds=x^4$
Nel calcolo dell'integrale nessun problema, per il fatto che sia un integrale definito tra $0$ e $x$ anziché tra $-\infty$ e $x$ me lo spiego supponendo che la f.d.r. per $x<0$ è già stata calcolata e si possa quindi partire nell'integrazione dallo $0$ (capisco anch'io che come spiegazione fa un po' schifo, ma non ho trovato nulla a riguardo).
In qualche modo sino a qui me la cavo, il vero problema viene ora.
Prendiamo come esempio la seguente densità
$f_X(x)={(x/25,if 0
Per prima cosa sia che per $x<0$, $F_X(x)=0$ e che per $x>=10$, $F_X(x)=1$; poi, procedendo come prima, per $0<=x<5$, $F_X(x)=int_0^x s/25 ds=x^2/50$.
Bene, arriviamo finalmente al nocciolo, cioè calcolare la f.d.r. per $5<=x<10$; quali sono gli estremi di integrazione?
Ho calcolato sia $int_0^x -s/25+2/5 ds$ (anche se non mi sembra molto sensato), sia $int_5^x -s/25+2/5 ds$ (che mi sembra già più sensato) ma nessuno dei due mi porta al risultato fornito dal libro cioè $F_X(x)=-x^2/50+2/5x-1$ (per $5<=x<10$).
Il discorso si ripete con altri esempi dell'eserciziario e non sono ancora riuscito a capire quali devono essere gli estremi di integrazione...
Spero in un vostro aiuto e nel frattempo vi ringrazio
Risposte
Per $5
poiché quando arrivi a 5 hai già accumulato una densità di probabilità $F(5)$.
poiché quando arrivi a 5 hai già accumulato una densità di probabilità $F(5)$.
si', concordo con luca.
in parole povere , dentro l'integrale devi sempre metterci la densita' di probabilita' generica, ed integrarla da -oo ad x.
ovviamente in questo caso l'integrale si spezza coerentemente a come e' definita (spezzata) la funzione densita' di probabilita'.
in parole povere , dentro l'integrale devi sempre metterci la densita' di probabilita' generica, ed integrarla da -oo ad x.
ovviamente in questo caso l'integrale si spezza coerentemente a come e' definita (spezzata) la funzione densita' di probabilita'.
Grazie mille ad entrambi, mi avete fatto capire molto e mi avete anche risollevato il morale 
Ho provato a farmi un po' di esercizi e tutti quadrano, tutti tranne uno... ma penso proprio che sia un errore di calcolo hehehe
Se avete voglia vorrei sottoporvelo perché continuo a riguardarlo ma non trovo l'errore.
Punto di partenza è la solita densità
$f_X(x)={(\theta/2,if 0<=x<1),(1/2,if 1<=x<2),((1-\theta)/2,if 2<=x<3),(0,text{altrove, }\theta notin [0,1]):}$
Per $x<0$, $0<=x<1$ e $1<=x<2$ non ho problemi e la f.d.r. "parziale" mi risulta come segue
$F_X(x)={(0,if x<0),(\theta/2x,if 0<=x<1),((\theta+x-1)/2,if 1<=x<2),(1,if x>=3):}$
Per $2<=x<3$ cerco di calcolare la f.d.r. come segue $F_X(x)=F_X(2)+int_2^x (1-\theta)/2 ds=(\theta+1)/2+(1-\theta)/2x-(1-\theta)=(\theta+1+(1-\theta)x-2+2\theta)/2=(3\theta-1+x-x\theta)/2$
Mentre l'eserciziario mi fornisce come risultato $F_X(x)=((1-\theta)(x-1-\theta))/2=(x-1-\theta-x\theta+\theta+\theta^2)/2=(x-1-x\theta+\theta^2)/2$
I due risultati differiscono per $3\theta$ anziché $\theta^2$, questo mi fa supporre che ho fatto qualche errore del "cavolo" nei conti che però non riesco ad individuare...
Ho provato a farmi un po' di esercizi e tutti quadrano, tutti tranne uno... ma penso proprio che sia un errore di calcolo hehehe
Se avete voglia vorrei sottoporvelo perché continuo a riguardarlo ma non trovo l'errore.
Punto di partenza è la solita densità
$f_X(x)={(\theta/2,if 0<=x<1),(1/2,if 1<=x<2),((1-\theta)/2,if 2<=x<3),(0,text{altrove, }\theta notin [0,1]):}$
Per $x<0$, $0<=x<1$ e $1<=x<2$ non ho problemi e la f.d.r. "parziale" mi risulta come segue
$F_X(x)={(0,if x<0),(\theta/2x,if 0<=x<1),((\theta+x-1)/2,if 1<=x<2),(1,if x>=3):}$
Per $2<=x<3$ cerco di calcolare la f.d.r. come segue $F_X(x)=F_X(2)+int_2^x (1-\theta)/2 ds=(\theta+1)/2+(1-\theta)/2x-(1-\theta)=(\theta+1+(1-\theta)x-2+2\theta)/2=(3\theta-1+x-x\theta)/2$
Mentre l'eserciziario mi fornisce come risultato $F_X(x)=((1-\theta)(x-1-\theta))/2=(x-1-\theta-x\theta+\theta+\theta^2)/2=(x-1-x\theta+\theta^2)/2$
I due risultati differiscono per $3\theta$ anziché $\theta^2$, questo mi fa supporre che ho fatto qualche errore del "cavolo" nei conti che però non riesco ad individuare...
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