[Calcolo delle probabilità] Nascere nello stesso giorno
Ciao a tutti, oggi vorrei sottoporre alla vostra attenzione il seguente problema che trovo veramente curioso e a cui non ho saputo trovare soluzione.
Con quale probabilità tra 10 amici ce ne sono almeno due che festeggiano il compleanno nello stesso giorno?
Spero che mi possiate aiutare come sempre grazie a tutti.
Con quale probabilità tra 10 amici ce ne sono almeno due che festeggiano il compleanno nello stesso giorno?
Spero che mi possiate aiutare come sempre grazie a tutti.
Risposte
Io ragioneri con la probabilità dell'evento complementare, cioè:
$1-P[\text{Nessuno sia nato nello stesso giorno}]$.
Dove:
$P[\text{Nessuno sia nato nello stesso giorno}]=(365*364*363*362*.....356)/(365^10)$.
$1-P[\text{Nessuno sia nato nello stesso giorno}]$.
Dove:
$P[\text{Nessuno sia nato nello stesso giorno}]=(365*364*363*362*.....356)/(365^10)$.
"clrscr":
Io ragioneri con la probabilità dell'evento complementare, cioè:
$1-P[\text{Nessuno sia nato nello stesso giorno}]$.
Dove:
$P[\text{Nessuno sia nato nello stesso giorno}]=(365*364*363*362*.....356)/(365^10)$.
Ciao grazie per la risposta ma ti potresti spiegare meglio?
Ovvero cosa rappresentano i calcoli che hai scritto?
Per una persona, ovviamente è sempre vero.
Per due persone, basta che la seconda non sia nata nello stesso giorno della prima: $364/365$ possibilità.
Per tre persone, la seconda non deve essere nata lo stesso giorno della prima e la terza in nessuno dei giorni dei precedenti: $364/365 \cdot 363/365$.
E così via...
Per due persone, basta che la seconda non sia nata nello stesso giorno della prima: $364/365$ possibilità.
Per tre persone, la seconda non deve essere nata lo stesso giorno della prima e la terza in nessuno dei giorni dei precedenti: $364/365 \cdot 363/365$.
E così via...
Ma in base a quale regola si moltiplica?
Cioè si tratta di una concomitanza di eventi?
Cioè si tratta di una concomitanza di eventi?
Gatto89 ha usato la seguente formula $P(A\nnnB)=P(A)P(B)$, con $A$ e $B$ eventi indipendenti. Per la dimostrazione di quest'ultima (che ti aiuterebbe a capire quando puoi usarla) puoi consultare un qualsiasi testo di Calcolo delle Probabilità e Statistica.
Allora vediamo se ho capito:
In pratica una persona può nascere in uno qualunque dei 365 giorni disponibili e dunque 365/365=1.
La seconda persona non deve essere nata nello stesso giorno della prima e quindi ha a disposizione 364 giorni su 365;
la terza persona non deve essere nata in nessuno dei due precedenti giorni e dunque ha a disposizione 363 giorni su 365;
...............................................................................................................................................................................
la decima persona non deve essere nata in nessuno dei nove giorni precedenti e dunque ha a disposizione 356 su 365.
Dovendo valere contemporaneamente le precedenti condizioni si ha
$1 \cdot 364/365 \cdot 363/365 \cdot 362/365 \cdot 361/365 \cdot 360/365 \cdot 359/365 \cdot 358/365 \cdot 357/365 \cdot 356/365$
Ovviamente a me interessa il complementare del risultato di cui sopra.
Giusto?
In pratica una persona può nascere in uno qualunque dei 365 giorni disponibili e dunque 365/365=1.
La seconda persona non deve essere nata nello stesso giorno della prima e quindi ha a disposizione 364 giorni su 365;
la terza persona non deve essere nata in nessuno dei due precedenti giorni e dunque ha a disposizione 363 giorni su 365;
...............................................................................................................................................................................
la decima persona non deve essere nata in nessuno dei nove giorni precedenti e dunque ha a disposizione 356 su 365.
Dovendo valere contemporaneamente le precedenti condizioni si ha
$1 \cdot 364/365 \cdot 363/365 \cdot 362/365 \cdot 361/365 \cdot 360/365 \cdot 359/365 \cdot 358/365 \cdot 357/365 \cdot 356/365$
Ovviamente a me interessa il complementare del risultato di cui sopra.
Giusto?
Ora dimmi,
quante persone ci vogliono (minimo) per avere una % superiore al 50% che due di loro siano nate nello stesso giorno ?
Ehm per caso 57?
no. molto meno. rifletti...
Anche se il conto in effetti (noi l'abbiamo fatto non troppo tempo fa) non è agevolissimo 
Non è che mi potreste dare qualche indizio?
Onestamente da stamattina non ricordo nemmeno come ho fatto a dire 57
Onestamente da stamattina non ricordo nemmeno come ho fatto a dire 57
la probabilità che ci siano almeno due persone nate lo stesso giorno è "uno meno" la probabilità dell'evento contrario: che tutte le persone siano nate in giorni diversi. se la prima probabilità (P) deve essere almeno del 50%, vuol dire che la seconda (1-P) deve essere non più del 50%. quest'ultima è quella che hai trovato con la formula (365*364*363*...*(365-n+1))/(365^n).
$P=1-(365)_n*365^(-n)$. con n=23 viene P=0.507.
spero sia chiaro. ciao.
$P=1-(365)_n*365^(-n)$. con n=23 viene P=0.507.
spero sia chiaro. ciao.
$P=1-(365)_n*365^(-n)$ n=23 come lo trovi? Per tentativi?
"ingmotty":
$P=1-(365)_n*365^(-n)$ n=23 come lo trovi? Per tentativi?
prova te a trovare una relazione tra 365 e 23 (... esiste ? )
nel caso in cui i giorni dell'anno fossero stati 1000, quanto vale n ?
"Umby":
[quote="ingmotty"]$P=1-(365)_n*365^(-n)$ n=23 come lo trovi? Per tentativi?
prova te a trovare una relazione tra 365 e 23 (... esiste ? )
nel caso in cui i giorni dell'anno fossero stati 1000, quanto vale n ?[/quote]
Ragazzi aspettate mi sto confondendo di brutto.... La realzione $P=1-(365)_n*365^(-n)$ ha due incognite P e n.
Per trovare il valore di n avrei dovuto fare 365 prove in teoria?
il 23 in realtà è stato trovato "a tentativi", nel senso che anche nel mio testo di probabilità sono riportati diversi risultati per tanti valori di n, e 22 è l'ultimo con probabilità inferiore al 50%, 23 è il primo con probabilità superiore al 50%. con 1000 al posto di 365, va sostituito 1000 nella formula lasciando indicato n, dopodiché si otterrà un valore diverso per il primo n che verifica il quesito... il calcolo non è difficile, basta usare uno strumento adeguato.
Dovrebbe trattarsi del classico Paradosso del Compleanno, problema curioso che ha molte ripercussioni anche in Sicurezza Informatica, in particolare nel trovare collisioni per funzioni di Hash.
La spiegazione al 23 per 365 dovrebbe essere qua ( pagina di miei appunti )
in pratica quindi per avere una probabilità maggiore del 50 % con n = 365 k deve essere uguale a k = 1,18 * radiceQuadrata( 365) quindi k = 22.5 approssimato a 23...spero che non ci siamo errori nei miei appunti e che siano chiari...ciao
La spiegazione al 23 per 365 dovrebbe essere qua ( pagina di miei appunti )
in pratica quindi per avere una probabilità maggiore del 50 % con n = 365 k deve essere uguale a k = 1,18 * radiceQuadrata( 365) quindi k = 22.5 approssimato a 23...spero che non ci siamo errori nei miei appunti e che siano chiari...ciao
La formula è quasi perfetta. 
ho confrontato i valori della stessa con quelli di una piccola routine ed al 99% corrispondono tutti. ( da 1 a 36525 )
p.s. potrebbe essere errata anche la mia routine.
ho confrontato i valori della stessa con quelli di una piccola routine ed al 99% corrispondono tutti. ( da 1 a 36525 )
p.s. potrebbe essere errata anche la mia routine.
"adaBTTLS":
il 23 in realtà è stato trovato "a tentativi", nel senso che anche nel mio testo di probabilità sono riportati diversi risultati per tanti valori di n, e 22 è l'ultimo con probabilità inferiore al 50%, 23 è il primo con probabilità superiore al 50%.
E' questo quello che intendevo; Avrei dovuto provare per vari numeri fino ad ottenere il valore di probabilità che mi interessava.
"ingmotty":
[quote="adaBTTLS"]il 23 in realtà è stato trovato "a tentativi", nel senso che anche nel mio testo di probabilità sono riportati diversi risultati per tanti valori di n, e 22 è l'ultimo con probabilità inferiore al 50%, 23 è il primo con probabilità superiore al 50%.
E' questo quello che intendevo; Avrei dovuto provare per vari numeri fino ad ottenere il valore di probabilità che mi interessava.[/quote]
Non è che devi per forza andare a "tentativi"! se vedi il mio post precedente ti spiega come si è arrivati a 23 per una probabilità del 50% senza andare a "tentativi", per tutte le altre probabilità basta cambiare il valore % nella equazione.
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