Calcolo delle Probabilità : esercizio esame
Salve a tutti. E' la prima volta che scrivo su questo forum e per tanto colgo l'occasione per complimentarmi con voi per la competenza e l'attività del forum.
Chiedo il vostro aiuto sul seguente esercizio proposto in un esame di CdP alla facoltà di Matematica dell'università di Ferrara.
Non dovrebbe essere difficile è solo che non riesco a vedere in che maniera procedere:
Si vuole stimare la frazione f di femmine in una certa popolazione; a tale scopo si estrae un campione casuale di n individui dalla popolazione. Quanto deve essere grande il campione per essere sicuri almeno al 99% di stimare f con errore inferiore a 0.005?
Vi ringrazio fin da subito.
Saluti
Gennari
Chiedo il vostro aiuto sul seguente esercizio proposto in un esame di CdP alla facoltà di Matematica dell'università di Ferrara.
Non dovrebbe essere difficile è solo che non riesco a vedere in che maniera procedere:
Si vuole stimare la frazione f di femmine in una certa popolazione; a tale scopo si estrae un campione casuale di n individui dalla popolazione. Quanto deve essere grande il campione per essere sicuri almeno al 99% di stimare f con errore inferiore a 0.005?
Vi ringrazio fin da subito.
Saluti
Gennari
Risposte
Il numero di femmine é binomiale, con media Nf e varianza Nf(1-f)
Allora la frazione di femmine é anch'essa binomiale, con media f e varianza f(1-f)/N.
Se N é molto grande, faccio l'approssimazione normale con gli stessi parametri.
Devo quindi fissare N in modo che Pr [ |X - f| > 0.005 ] <= 0.01
e poiché X - f é una normale con media 0 e varianza f(1-f)/N
deve risultare f(1-f)/N * valore critico a 0.995 < 0.005
che é sicuramente soddisfatta se
1/4N * 2.576 < 0.005
cioé se 0.02 N > 2.576
N > 129.
Spero che il ragionamento indicato sia corretto.
Allora la frazione di femmine é anch'essa binomiale, con media f e varianza f(1-f)/N.
Se N é molto grande, faccio l'approssimazione normale con gli stessi parametri.
Devo quindi fissare N in modo che Pr [ |X - f| > 0.005 ] <= 0.01
e poiché X - f é una normale con media 0 e varianza f(1-f)/N
deve risultare f(1-f)/N * valore critico a 0.995 < 0.005
che é sicuramente soddisfatta se
1/4N * 2.576 < 0.005
cioé se 0.02 N > 2.576
N > 129.
Spero che il ragionamento indicato sia corretto.
Grazie innanzitutto per avermi risposto.
Purtroppo non mi è ben chiaro il ragionamento seguito.
In primo luogo X cosa rappresenta? E' la frazione di femmine? E poi cosa si intende per f(1-f)/N * valore critico a 0.995 ?
Ad ogni modo come può essere N>129 una risposta? Cioè a parer mio n, il campione, deve dipendere dalla popolazione iniziale N.
Se fosse che per ogni N iniziale basta scegliere un campione n>129 per avere probabilità 99% di avere un campione rappresentativo a meno di 0.005 mi sembra paradossale: immaginiamo per esempio una popolazione di 10^6 di individui, allora n=130 è ancora un campione sufficiente al nostro scopo?
Oppure, chi mi garantisce che la popolazione iniziale sia maggiore di 129 individui? Significa forse che per una popolazione di 40 individui non è possibile estrarre un campione che soddisfi la richiesta?
Scusate forse, anzi spero, di aver solo frainteso, ma vorrei proprio riuscire ad arrivare alla soluzione di questo problema!
Grazie ancora
Roberto
Purtroppo non mi è ben chiaro il ragionamento seguito.
In primo luogo X cosa rappresenta? E' la frazione di femmine? E poi cosa si intende per f(1-f)/N * valore critico a 0.995 ?
Ad ogni modo come può essere N>129 una risposta? Cioè a parer mio n, il campione, deve dipendere dalla popolazione iniziale N.
Se fosse che per ogni N iniziale basta scegliere un campione n>129 per avere probabilità 99% di avere un campione rappresentativo a meno di 0.005 mi sembra paradossale: immaginiamo per esempio una popolazione di 10^6 di individui, allora n=130 è ancora un campione sufficiente al nostro scopo?
Oppure, chi mi garantisce che la popolazione iniziale sia maggiore di 129 individui? Significa forse che per una popolazione di 40 individui non è possibile estrarre un campione che soddisfi la richiesta?
Scusate forse, anzi spero, di aver solo frainteso, ma vorrei proprio riuscire ad arrivare alla soluzione di questo problema!
Grazie ancora
Roberto
Sì, X é la frazione di femmine, binomiale ed approssimata a Gaussiana. Il calcolo esatto sarebbe impraticabile perché implica binomiali comulative. Ho considerato il valore critico a 0.995 perché in tal modo la coda destra copre lo 0.5 % e con la coda simmetrica dall'altro lato ricostruisce l'1% : la probabilità di ricadere entro quel valore sarà quindi il 99%.
L'errore c'é davvero : ho dimenticato la radice quadrata che fa passare da varianza a deviazione standard.
$\frac{2.576}{sqrt(4N)}$ $<=$ 0.005
da cui N $>=$ 66348.
La popolazione dovrà ovviamente essere più numerosa ma non importa quanto.
L'errore c'é davvero : ho dimenticato la radice quadrata che fa passare da varianza a deviazione standard.
$\frac{2.576}{sqrt(4N)}$ $<=$ 0.005
da cui N $>=$ 66348.
La popolazione dovrà ovviamente essere più numerosa ma non importa quanto.
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