Calcolo delle probabilità
Ciao a tutti,
sto cercando di risolvere un problema di calcolo delle probabilità, ma non sono sicuro che il mio risultato sia giusto.
Il problema è (spero di averlo formulato chiaramente):
Abbiamo un'urna contenente N palline. Di queste, B sono bianche e R = (N - B) sono rosse. Qual'è la probabilità di estrarre almeno 2 palline bianche pescandone 7 in contemporanea?
Io ho provato a risolverlo così: $P(X>=2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$
La formula per calcolare P(X = x) ho pensato possa essere (a*b)/c , dove:
a = $(B!)/[(B-x)!*x!]$ cioè tutti i modi di pescare esattamente x palline bianche
b = $(R!)/[(R-(7-x))!*(7-x)!]$ cioè i restati modi di pescare le palline nere nelle 7 estratte
c = $(N!)/[(N-7)!*7!]$ cioè tutti i modi possibili di estrarre 7 palline
Sapreste dirmi se il mio risultato è corretto?
Grazie mille, ciao!
sto cercando di risolvere un problema di calcolo delle probabilità, ma non sono sicuro che il mio risultato sia giusto.
Il problema è (spero di averlo formulato chiaramente):
Abbiamo un'urna contenente N palline. Di queste, B sono bianche e R = (N - B) sono rosse. Qual'è la probabilità di estrarre almeno 2 palline bianche pescandone 7 in contemporanea?
Io ho provato a risolverlo così: $P(X>=2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$
La formula per calcolare P(X = x) ho pensato possa essere (a*b)/c , dove:
a = $(B!)/[(B-x)!*x!]$ cioè tutti i modi di pescare esattamente x palline bianche
b = $(R!)/[(R-(7-x))!*(7-x)!]$ cioè i restati modi di pescare le palline nere nelle 7 estratte
c = $(N!)/[(N-7)!*7!]$ cioè tutti i modi possibili di estrarre 7 palline
Sapreste dirmi se il mio risultato è corretto?
Grazie mille, ciao!
Risposte
Problemi di questo genere sono tutti basati sulla formula che da la probabilità che si verifichino $k$ eventi su $n$ possibili. Se $p$ è la probabilità di un certo evento [esempio ‘pallina bianca’…] in una estrazione, allora la probabilità di averne $k$ in $n$ estrazioni è…
$P_(n,k)= ((n),(k)) * p^k*(1-p)^(n-k)$ (1)
in cui è…
$((k),(n))= (n!)/(k!*(n-k)!)$ (2)
Nel nostro caso se il numero di palline $N$ contenuto nell’urna è ‘grande’ sarà con buona approssimazione $p=B/N$. Nel problema posto è $n=7$ e vogliamo conoscere la probabilità che in sette tentativi escano almeno $2$ palline bianche. Il valore di probabilità cercato sarà…
$P= 1- P_(7,0) – P_(7,1) = 1 – ((0),(7)) * p^0*(1-p)^7 – ((1),(7))*p*(1-p)^6=$
$= 1- (1-p)^7-7*p*(1-p)^6$ (3)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$P_(n,k)= ((n),(k)) * p^k*(1-p)^(n-k)$ (1)
in cui è…
$((k),(n))= (n!)/(k!*(n-k)!)$ (2)
Nel nostro caso se il numero di palline $N$ contenuto nell’urna è ‘grande’ sarà con buona approssimazione $p=B/N$. Nel problema posto è $n=7$ e vogliamo conoscere la probabilità che in sette tentativi escano almeno $2$ palline bianche. Il valore di probabilità cercato sarà…
$P= 1- P_(7,0) – P_(7,1) = 1 – ((0),(7)) * p^0*(1-p)^7 – ((1),(7))*p*(1-p)^6=$
$= 1- (1-p)^7-7*p*(1-p)^6$ (3)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
No Lupo Grigio, quello che dici tu andrebbe bene se l'esperimento fosse con reinserimento.
Trattandosi di un'estrazione "in contemporanea", ovvero senza reinserimento, la VA binomiale è sbagliata.
Si risolve con la variabile aleatoria ipergeometrica:
$P(X=x)=(((Np),(x))((Nq),(n-x)))/(((N),(n)))$
Dove:
$N$ è il numero di oggetti (N).
$n$ è il numero di oggetti estratti (7).
$Np$ è il numero di oggetti favorevoli (B), che può essere visto anche come $N*p$, dove p è la probabilità di ottenere un successo.
$Nq$ è il numero di oggetti sfavorevoli (R), che può essere visto anche come $N*q$ con $q=1-p$.
$x$ è il numero di successi che si vogliono ottenere.
Nel nostro caso, sarà necessario il ricorso alla funzione di ripartizione:
$P(X>=x)=sum_(i=x)^n(((Np),(i))((Nq),(n-i)))/(((N),(n)))$
$P(X>=2)=sum_(i=2)^7(((B),(i))((R),(7-i)))/(((N),(7)))$
Questa variabile vede a denominatore il numero di casi possibili, ovvero le possibili combinazioni di N oggetti presi n alla volta.
A numeratore, invece, le possibili estrazioni di oggetti favorevoli per le possibili estrazioni di oggetti sfavorevoli che vogliamo ottenere.
Trattandosi di un'estrazione "in contemporanea", ovvero senza reinserimento, la VA binomiale è sbagliata.
Si risolve con la variabile aleatoria ipergeometrica:
$P(X=x)=(((Np),(x))((Nq),(n-x)))/(((N),(n)))$
Dove:
$N$ è il numero di oggetti (N).
$n$ è il numero di oggetti estratti (7).
$Np$ è il numero di oggetti favorevoli (B), che può essere visto anche come $N*p$, dove p è la probabilità di ottenere un successo.
$Nq$ è il numero di oggetti sfavorevoli (R), che può essere visto anche come $N*q$ con $q=1-p$.
$x$ è il numero di successi che si vogliono ottenere.
Nel nostro caso, sarà necessario il ricorso alla funzione di ripartizione:
$P(X>=x)=sum_(i=x)^n(((Np),(i))((Nq),(n-i)))/(((N),(n)))$
$P(X>=2)=sum_(i=2)^7(((B),(i))((R),(7-i)))/(((N),(7)))$
Questa variabile vede a denominatore il numero di casi possibili, ovvero le possibili combinazioni di N oggetti presi n alla volta.
A numeratore, invece, le possibili estrazioni di oggetti favorevoli per le possibili estrazioni di oggetti sfavorevoli che vogliamo ottenere.
yes!!!... all right!!!...
Come ho detto infatti il risultato da me fornito è valido in caso di N 'molto grande', di modo che la probabilità è circa la stessa anche dopo un numero 'limitato' di estrazioni...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Come ho detto infatti il risultato da me fornito è valido in caso di N 'molto grande', di modo che la probabilità è circa la stessa anche dopo un numero 'limitato' di estrazioni...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
É possibile verificare che quando N è molto grande, ovvero quando lo spazio S degli eventi possibili è molto grande, la VA ipergeometrica converge alla VA binomiale.
Cioè, quando l'insieme degli eventi possibili è molto grande, la probabilità di ottenere k successi senza che si reinserisca l'estrazione è la stessa di ottenere k successi reinserendo l'estrazione.
$lim_{N to +oo}P(X)=lim_{N to +oo}(((Np(Np-1)...(Np-k-1))/(k!))((Nq(Nq-1)...[Nq-(n-k)-1])/((n-k)!)))/((N(N-1)...(N-n-1))/(n!))$
Raccogliendo tutti gli NP e gli NQ dal prodotto a numeratore e le N a denominatore, semplificando il rapporto:
$lim_{N to +oo}((Np)^k[1(1-1/(Np))...(1-(k-1)/(Np))](Nq)^(n-k)[1-(1-1/(Nq))...(1-(n-k-1)/(Nq))])/(N^n[1(1-1/N)...(1-(n-1)/n)])*(n!)/(k!(n-k)!)$
Al limite, tutti gli elementi all'interno delle parentesi tonde tendono a 1. Quindi:
$((Np)^k(Nq)^(n-k))/N^n*(n!)/(k!(n-k)!)$
Poichè $(Np)^k/N^k=p^k$ e $(Nq)^(n-k)/N^(n-k)=q^(n-k)$ risulta:
$lim_{N to +oo}P(X)=p^kq^(n-k)(n!)/(k!(n-k)!)=((n),(k))p^kq^(n-k)$
Cioè, quando l'insieme degli eventi possibili è molto grande, la probabilità di ottenere k successi senza che si reinserisca l'estrazione è la stessa di ottenere k successi reinserendo l'estrazione.
$lim_{N to +oo}P(X)=lim_{N to +oo}(((Np(Np-1)...(Np-k-1))/(k!))((Nq(Nq-1)...[Nq-(n-k)-1])/((n-k)!)))/((N(N-1)...(N-n-1))/(n!))$
Raccogliendo tutti gli NP e gli NQ dal prodotto a numeratore e le N a denominatore, semplificando il rapporto:
$lim_{N to +oo}((Np)^k[1(1-1/(Np))...(1-(k-1)/(Np))](Nq)^(n-k)[1-(1-1/(Nq))...(1-(n-k-1)/(Nq))])/(N^n[1(1-1/N)...(1-(n-1)/n)])*(n!)/(k!(n-k)!)$
Al limite, tutti gli elementi all'interno delle parentesi tonde tendono a 1. Quindi:
$((Np)^k(Nq)^(n-k))/N^n*(n!)/(k!(n-k)!)$
Poichè $(Np)^k/N^k=p^k$ e $(Nq)^(n-k)/N^(n-k)=q^(n-k)$ risulta:
$lim_{N to +oo}P(X)=p^kq^(n-k)(n!)/(k!(n-k)!)=((n),(k))p^kq^(n-k)$
Vi ringrazio delle vostre spiegazioni, ho inquadrato il problema, grazie anche all'appoggio del mio libro di testo!
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