Calcolo delle probabilità

[frons79]

Tre macchine A, B e C producono rispettivamente il 20%, il 50% e il 30% dei bulloni prodotti da una certa fabbrica.
Sul totale dei bulloni prodotti dalle tre macchine risultano difettosi il 2%, il 5% e il 3%, rispettivamente.
Viene scelto un bullone a caso e viene trovato difettoso.
Qual è la probabilità che esso provenga dalla macchina C?

Sembrerà strano, ma la prima cosa che mi è saltata in mente è quella di calcolare la percentuale di pezzi guasti sulla percentuale di pezzi prodotti da ciascuna macchina per cui, a conti fatti, risulta che:\[\displaystyle P(A)=0.4{\%}\, P(B)=2.5{\%}\, P(C)=0.9{\%} \]
Ma mi pare definitivamente troppo elementare come soluzione di un testo d'esame...

[manfredi92]

mai sentito parlare di bayes?
A = " il bullone prodotto da A è difettoso"
B = " il bullone prodotto da B è difettoso"
C = " il bullone prodotto da C è difettoso"
D = " il bullone è difettoso"

$ P(A) = 0.2$
$ P(B) = 0.5$
$ P(C) = 0.3$
$ P(D|A) = 0.02$
$ P(D|B) = 0.05$
$ P(D|C) = 0.03$

$P(D) = 0.2*0.02 + 0.5*0.05 + 0.3*0.03 = 0.038 $

$P(C|D) = (P(C)P(D|C))/(P(D)) = (0.3*0.03) / (0.038) = 0.236 $