Calcolo della varianza per una v.a. esponenziale
Salve a tutti, da pochissimo mi sono imbattuto nello studio delle variabili aleatorie e poiché che le dispense di teoria che ho, oltre a non avere esempi pratici, sono poco chiare, ci sono molte cose che riesco ancora ad afferrare...così mi son assegnato degli esercizi in modo tale da sottopormi a verifica.
Ho preso come esempio la distribuzione esponenziale e ho letto su wiki tutte le informazioni necessarie.
Non ho avuto problemi a verificare che la media di una v.c. esponenziale la cui PDF è \(\displaystyle \lambda e^{-\lambda x} \), vale \(\displaystyle 1/\lambda \) e ora voglio calcolare la varianza.
Secondo la definizione, la varianza vale:
\(\displaystyle \sigma^2 (X) = E([X-E(X)]^2) \).
Per una variabile esponenziale, dunque, dovrei poter arrivare a ricavare:
\(\displaystyle \sigma^2 (X) = E([X-1/\lambda]^2) = \ldots = 1/\lambda^2 \)
Ho sostituito al posto di \(\displaystyle X \) la PDF della variable esponenziale \(\displaystyle \lambda e^{-\lambda x} \) poi ho svolto l'integrale e ho capito a mie spese che ho sbagliato in quanto il mio risultato non solo non vale \(\displaystyle 1/\lambda^2 \) ma addirittura diverge e a questo punto mi chiedo come devo ragionare e cosa devo fare per calcolare correttamente la varianza.
Sono consapevole che la mia possa essere una domanda stupida ma non so come altro fare e ribadisco che, nonostante le riletture, non ho ben afferrato il significato delle variabili aleatorie visto che non so dare un senso a quella \(\displaystyle X \).
Ho preso come esempio la distribuzione esponenziale e ho letto su wiki tutte le informazioni necessarie.
Non ho avuto problemi a verificare che la media di una v.c. esponenziale la cui PDF è \(\displaystyle \lambda e^{-\lambda x} \), vale \(\displaystyle 1/\lambda \) e ora voglio calcolare la varianza.
Secondo la definizione, la varianza vale:
\(\displaystyle \sigma^2 (X) = E([X-E(X)]^2) \).
Per una variabile esponenziale, dunque, dovrei poter arrivare a ricavare:
\(\displaystyle \sigma^2 (X) = E([X-1/\lambda]^2) = \ldots = 1/\lambda^2 \)
Ho sostituito al posto di \(\displaystyle X \) la PDF della variable esponenziale \(\displaystyle \lambda e^{-\lambda x} \) poi ho svolto l'integrale e ho capito a mie spese che ho sbagliato in quanto il mio risultato non solo non vale \(\displaystyle 1/\lambda^2 \) ma addirittura diverge e a questo punto mi chiedo come devo ragionare e cosa devo fare per calcolare correttamente la varianza.
Sono consapevole che la mia possa essere una domanda stupida ma non so come altro fare e ribadisco che, nonostante le riletture, non ho ben afferrato il significato delle variabili aleatorie visto che non so dare un senso a quella \(\displaystyle X \).
Risposte
Ciao,
potresti scrivere in formule matematiche cosa hai espresso a parole, per evitare equivoci? Perchè mi sembra molto strana questa sostituzione che hai fatto...
Cmq sei a conoscenza che la legge esponenziale è un caso particolare della legge gamma?
domande comprensibili, che si pone chiunque inizi ad avventurarsi nella prob.
Prova a dare un occhio a questi tre post, in questo ordine:
- probabilita-base-omega-t77767.html
- definizioni-variabile-aleatoria-t81042.html
- notazione-v-a-t78338.html
non danno un risposta, ma sicuro ti danno uno spunto di riflessio per comprendere cosa ci stia dietro, almeno a me aiutarono. Se no vediamo di discuterne, ma come stai affrontando la questione, facendoti degli esercizi autovalutativi è un'ottima tecnica.
"lucamennoia":
Per una variabile esponenziale, dunque, dovrei poter arrivare a ricavare:
\(\displaystyle \sigma^2 (X) = E([X-1/\lambda]^2) = \ldots = 1/\lambda^2 \)
Ho sostituito al posto di \(\displaystyle X \) la PDF della variable esponenziale \(\displaystyle \lambda e^{-\lambda x} \) poi ho svolto l'integrale e ho capito a mie spese che ho sbagliato in quanto il mio risultato non solo non vale \(\displaystyle 1/\lambda^2 \) ma addirittura diverge e a questo punto mi chiedo come devo ragionare e cosa devo fare per calcolare correttamente la varianza.
potresti scrivere in formule matematiche cosa hai espresso a parole, per evitare equivoci? Perchè mi sembra molto strana questa sostituzione che hai fatto...
Cmq sei a conoscenza che la legge esponenziale è un caso particolare della legge gamma?
Sono consapevole che la mia possa essere una domanda stupida ma non so come altro fare e ribadisco che, nonostante le riletture, non ho ben afferrato il significato delle variabili aleatorie visto che non so dare un senso a quella \(\displaystyle X \).
domande comprensibili, che si pone chiunque inizi ad avventurarsi nella prob.
Prova a dare un occhio a questi tre post, in questo ordine:
- probabilita-base-omega-t77767.html
- definizioni-variabile-aleatoria-t81042.html
- notazione-v-a-t78338.html
non danno un risposta, ma sicuro ti danno uno spunto di riflessio per comprendere cosa ci stia dietro, almeno a me aiutarono. Se no vediamo di discuterne, ma come stai affrontando la questione, facendoti degli esercizi autovalutativi è un'ottima tecnica.
Grazie mille! Entrambe le risposte mi hanno aiutato tantissimo! Cercherò di reperire i testi! 
grazie ancora
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