Calcolo della Varianza
Il seguente esercizio tratto da un tema di esame di Statistica:
Viene lanciata 3 volte una moneta equilibrata. Si consideri la variabile aleatoria $ X$ il cui valore
è pari al numero di teste moltiplicato per due.
(a) Calcolare la funzione di massa di probabilità di $ X$.
(b) Calcolare la funzione di distribuzione cumulativa di X e disegnarne il grafico.
(c) Calcolare il valore atteso e la varianza di $ X$.
I punti a e b sono facili e non ho problemi. Quindi:
$ P(0)= 1/8$ $ P(1) = 3/8$ $ P(2)=3/8$ $ P(3)= 1/8$
Da qui, per quanto riguarda il punto c:
Considero la v.a. Y il cui valore è pari al numero di teste. Ho $X = 2* Y$
Calcolo il valore atteso di Y = $E[Y] = 0 * 1/8 +1 * 3/8 + 2* 3/8 + 3 * 1/8 = 3/4$
A questo punto, dalle proprietà del valore atteso $E[X] = E[2*y] = 3$ FINO A QUI nessun problema.
Per calcolare la varianza di X calcolo prima la varianza di Y.
$ E[Y^2] =0 * 1/8 +1 * 3/8 + 4* 3/8 + 9 * 1/8 = 3$
$Var[Y] = E[Y^2] - E[Y]^2 = 3 - 9/4 = 3/4$
Dalle proprietà della varianza delle v.a. indipendenti :
$Var [X] = Var[2*Y] = 4 * Var[Y] = 3$.
Il testo però riporta come risultato $Var[X] = 5/2$.
Qualcuno può dirmi dove sbaglio ? Grazie
Viene lanciata 3 volte una moneta equilibrata. Si consideri la variabile aleatoria $ X$ il cui valore
è pari al numero di teste moltiplicato per due.
(a) Calcolare la funzione di massa di probabilità di $ X$.
(b) Calcolare la funzione di distribuzione cumulativa di X e disegnarne il grafico.
(c) Calcolare il valore atteso e la varianza di $ X$.
I punti a e b sono facili e non ho problemi. Quindi:
$ P(0)= 1/8$ $ P(1) = 3/8$ $ P(2)=3/8$ $ P(3)= 1/8$
Da qui, per quanto riguarda il punto c:
Considero la v.a. Y il cui valore è pari al numero di teste. Ho $X = 2* Y$
Calcolo il valore atteso di Y = $E[Y] = 0 * 1/8 +1 * 3/8 + 2* 3/8 + 3 * 1/8 = 3/4$
A questo punto, dalle proprietà del valore atteso $E[X] = E[2*y] = 3$ FINO A QUI nessun problema.
Per calcolare la varianza di X calcolo prima la varianza di Y.
$ E[Y^2] =0 * 1/8 +1 * 3/8 + 4* 3/8 + 9 * 1/8 = 3$
$Var[Y] = E[Y^2] - E[Y]^2 = 3 - 9/4 = 3/4$
Dalle proprietà della varianza delle v.a. indipendenti :
$Var [X] = Var[2*Y] = 4 * Var[Y] = 3$.
Il testo però riporta come risultato $Var[X] = 5/2$.
Qualcuno può dirmi dove sbaglio ? Grazie

Risposte
Quando calcoli $E(X)$, non dovrebbe venire $3/2$??