Calcolo della PDF congiunta di una coppia di v.a.

[Marco Beta2]

Buonasera a tutti, ho un esercizio che, date due v.a. $X_1 ~ N(3, 5) $ e $X_2 ~ N(5, 4) $, mi chiede di calcolare la PDF congiunta della coppia di variabili aleatorie $(X_1, X_2)$.
Qualcuno mi potrebbe dare qualche spunto per poterlo risolvere? Ho già calcolato media e varianza di $Z=(X_1 - 2X_2)$

Grazie in anticipo

[mobley]

Impossibile rispondere se non specifichi se le variabili sono i.i.d. o meno. Qualora lo fossero basta che applichi la definizione di densità congiunta per v. continue indipendenti $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$. Se non lo fossero dovresti avere altre informazioni a disposizione (ad es. condizionamenti di qualche tipo) per poter rispondere.

[Lo_zio_Tom]

"mobley":Impossibile rispondere se non specifichi se le variabili sono i.i.d. o meno.

ma hai idea di cosa significhi l'acronimo che hai scritto? Evidentemente no. Le variabili NON sono identicamente distribuite: le due densità sono entrambe gaussiane ma non hanno gli stessi parametri

Anche non sapendo nulla di più, le variabili sono congiuntamente gaussiane e quindi la loro PDF congiunta è questa

$f_(X_1X_2)(x_1,x_2)=1/(4pisqrt(5(1-rho^2)))exp{-1/(2(1-rho^2))[(x_1-3)^2/5-rho((x_1-3)(x_2-5))/sqrt(5)+(x_2-5)^2/4]}$

che le variabili siano o meno indipendenti non frega niente a nessuno, in un modello gaussiano importa solo la correlazione, una volta noto $rho$ non ci serve sapere altro.

In mancanza di altre informazioni la densità è quella che ho scritto

...ovviamente se $rho=0$ allora le variabili sono anche indipendenti e la densità sarà il prodotto delle marginali (basta sostiture e verificare)

Nello specifico:

@marco, forse specificare che in questo caso $rho=0.4$ non sarebbe stata una cattiva idea.....ora la soluzione ce l'hai, devi solo sostituire....

[Marco Beta2]

"tommik":...

Scusa il ritardo tommik ma ho avuto la febbre e non ho avuto modo di mettermi sui libri... Grazie mille per la spiegazione, come sempre chiarissimo e super disponibile Scusami per $rho$ ma non avevo idea che potesse servire
Grazie veramente di cuore

[Marco Beta2]

"tommik":...

Ciao tommik, leggendo la soluzione da te proposta mi ha fatto ricordare qualcosa di simile visto a lezione e sono andato a rileggermi gli appunti trovando questa formula per v.a. congiuntamente gaussiane (ti scrivo la formula con la stessa nomenclatura utilizzata dal prof alla lavagna)

$f_(X_1X_2)(x_1,x_2)=1/(2pisqrt(|C|))exp-1/2[(mu - m)^T * C^(-1) *(mu - m)]$

dove:

$ |C| $ è il determinante della matrice di covarianza

$ (mu - m)^T $ vettore riga

$ (mu - m) $ vettore colonna

E' la stessa che mi hai scritto tu? Perchè in tal caso utilizzo la tua che mi sembra molto più intuitiva, inoltre vorrei chiederti se per te non è un problema, una versione senza numeri perchè avendo il valore 5 sia per $mu$ che per $sigma^2$ ho paura di confondere chi va al posto di cosa.
Grazie ancora

[Lo_zio_Tom]

"Marco Beta2":leggendo la soluzione da te proposta mi ha fatto ricordare qualcosa di simile visto a lezione e sono andato a rileggermi gli appunti trovando questa formula .....

E' la stessa che mi hai scritto tu? Perchè in tal caso utilizzo la tua che mi sembra molto più intuitiva

sì è la stessa formula, una è espressa in forma matriciale l'altra no. Hai solo dimenticato una parentesi dopo "exp" e scritto male il vettore riga o colonna perché ovviamente è $(ul(x)-ul(m))$


Senza usare i numeri della traccia, due variabili $X,Y$ congiuntamente gaussiane hanno la seguente densità congiunta:

$f_(XY)(x,y)=1/(2pisigma_X sigma_ysqrt(1-rho^2))EXP{-1/(2(1-rho^2))[(x-mu_X)^2/sigma_X^2-2rho((x-mu_X)(y-mu_Y))/(sigma_xsigma_Y)+(y-mu_Y)^2/sigma_Y^2]}$

Può essere un utile esercizio svolgere i calcoli con le matrici e verificare che le due formule della densità coincidono.... non è difficile

parti dai dati:

$C=[ ( sigma_X^2 , rhosigma_Xsigma_Y ),( rhosigma_Xsigma_Y , sigma_Y^2) ] $

e quindi $||C||= sigma_X^2 sigma_Y^2(1-rho^2)$


$C^(-1)=([ ( sigma_Y^2 ,- rhosigma_Xsigma_Y ),(- rhosigma_Xsigma_Y , sigma_X^2) ])/(||C||) $

$(ul(x)-ul(m))=[ ( x-mu_X ),( y-mu_Y ) ] $

ora basta fare i conti....

$(ul(x)-ul(m))' C^(-1)(ul(x)-ul(m))=([x-mu_X;y-mu_Y][ ( sigma_Y^2 ,- rhosigma_Xsigma_Y ),(- rhosigma_Xsigma_Y , sigma_X^2) ][ ( x-mu_X ),( y-mu_Y ) ] )/(sigma_X^2sigma_Y^2 (1-rho^2))=$

$=(sigma_Y^2(x-mu_X)^2- rhosigma_Xsigma_Y(x-mu_X)(y-mu_Y)+sigma_X^2(y-mu_Y)^2- rhosigma_Xsigma_Y(x-mu_X)(y-mu_Y))/(sigma_X^2sigma_Y^2(1-rho^2))=$

$=1/(1-rho^2)[(x-mu_X)^2/sigma_X^2-2rho((x-mu_x)(y-mu_Y))/(sigma_Xsigma_Y )+(y-mu_Y)^2/sigma_Y^2]$

come puoi vedere è esattamente la stessa cosa....

[Marco Beta2]

"tommik":...

Ciao tommik, si hai ragione ho sbagliato a scrivere il vettore riga (o colonna) ma ero a lavoro e ho scritto di fretta andando a memoria
Ad ogni modo è tutto chiarissimo
Ti ringrazio veramente di cuore, non so come ringraziarti per tutti i chiarimenti, gli input e le dimostrazioni che gentilmente mi fornisci! Grazie veramente