Calcolo della legge di una funzione di una o più v.a.
Salve, ho il seguente esercizio:
Sia $X$ una variabile aleatoria normale con media $0$ e varianza $5$. Sia $Y=|X|$.
Trova: $a)$ la densità di probabilità di $Y$; $b)$ la media di $Y$.
Ho fatto mille "prove", provato diversi procedimenti ma mi blocco sempre.
Sapreste dirmi come risolvere questo tipo di esercizio?
Grazie mille
Sia $X$ una variabile aleatoria normale con media $0$ e varianza $5$. Sia $Y=|X|$.
Trova: $a)$ la densità di probabilità di $Y$; $b)$ la media di $Y$.
Ho fatto mille "prove", provato diversi procedimenti ma mi blocco sempre.
Sapreste dirmi come risolvere questo tipo di esercizio?
Grazie mille
Risposte
E' una tipologia di esercizio "standard", non c'è bisogno di fare molte "prove".
Hai $y = g(x) = |x|$. Risolvi in $x$ e avrai:
- nessuna soluzione per $y<0$
- due soluzioni, $-y$ e $y$ per $y>0$.
Ora basta usare questa formula fondamentale:
\(\displaystyle f_Y(y) =\sum_i \frac{f_X(x_i)}{|g'(x_i)|}\)
dove le $x_i$ sono le soluzioni in $x$ dell'equazione $y = g(x)$ e $f_X(\cdot)$ è la pdf di $X$. Nel tuo caso dirai che $f_Y(y)=0$ per $y<0$ visto che non hai soluzioni in quell'intervallo, mentre per $y>0$ si tratta di sommare due termini, uno per ogni soluzione: $x_1=-y$ e $x_2 = y$.
Hai $y = g(x) = |x|$. Risolvi in $x$ e avrai:
- nessuna soluzione per $y<0$
- due soluzioni, $-y$ e $y$ per $y>0$.
Ora basta usare questa formula fondamentale:
\(\displaystyle f_Y(y) =\sum_i \frac{f_X(x_i)}{|g'(x_i)|}\)
dove le $x_i$ sono le soluzioni in $x$ dell'equazione $y = g(x)$ e $f_X(\cdot)$ è la pdf di $X$. Nel tuo caso dirai che $f_Y(y)=0$ per $y<0$ visto che non hai soluzioni in quell'intervallo, mentre per $y>0$ si tratta di sommare due termini, uno per ogni soluzione: $x_1=-y$ e $x_2 = y$.
Ok fino a qui ci sono.
Quindi come lo completo? Non ho capito come applicare la formula in questo caso
Grazie ancora
Quindi come lo completo? Non ho capito come applicare la formula in questo caso
Grazie ancora
Secondo me ti sfugge (o meglio, non hai specificato bene) qualche passaggio, perché ho provato come dici tu ma non mi risulta per niente, anzi nella soluzione compaiono radici ed $e$ elevato a funzioni :S
La formula è quella. Posta i tuoi conti, vediamo dove sbagli.
scusa in alto nel denominatore cosa devo mettere? Non c'è nulla da integrare ?
Mi dici come dovrei scriverla? Perchè sbaglio proprio a definire quella sommatoria..grazie
Mi dici come dovrei scriverla? Perchè sbaglio proprio a definire quella sommatoria..grazie
Niente da integrare. Nel tuo caso
\(\displaystyle f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot5}}\exp\left(-\frac{x^2}{2\cdot 5}\right)\)
e
\(\displaystyle f_Y(y)=f_X(y) + f_X(-y) \)
poiché il modulo di $g'(\cdot)$ a denominatore è sempre \(\displaystyle 1 \). Questo è un risultato generale, valido per ogni distribuzione di $X$. Nel tuo caso particolare, visto che la gaussiana è a media nulla, diventa $f_Y(y)=2f_X(y)$, come detto prima solo per $y>=0$, mentre $f_Y(y) = 0$ per $y<0$.
Il valor medio, dunque, lo puoi calcolare con
\(\displaystyle E[Y] = \int_{-\infty}^{\infty} |x|f_X(x)\text{d}x \)
o con
\(\displaystyle E[Y] =\int_{-\infty}^{\infty} yf_Y(y)\text{d}y = \int_{0}^{\infty} 2yf_X(y)\text{d}y \)
\(\displaystyle f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot5}}\exp\left(-\frac{x^2}{2\cdot 5}\right)\)
e
\(\displaystyle f_Y(y)=f_X(y) + f_X(-y) \)
poiché il modulo di $g'(\cdot)$ a denominatore è sempre \(\displaystyle 1 \). Questo è un risultato generale, valido per ogni distribuzione di $X$. Nel tuo caso particolare, visto che la gaussiana è a media nulla, diventa $f_Y(y)=2f_X(y)$, come detto prima solo per $y>=0$, mentre $f_Y(y) = 0$ per $y<0$.
Il valor medio, dunque, lo puoi calcolare con
\(\displaystyle E[Y] = \int_{-\infty}^{\infty} |x|f_X(x)\text{d}x \)
o con
\(\displaystyle E[Y] =\int_{-\infty}^{\infty} yf_Y(y)\text{d}y = \int_{0}^{\infty} 2yf_X(y)\text{d}y \)
"elgiovo":
Niente da integrare. Nel tuo caso
\(\displaystyle f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot5}}\exp\left(-\frac{x^2}{2\cdot 5}\right)\)
e
\(\displaystyle f_Y(y)=f_X(y) + f_X(-y) \)
Mi spieghi i calcoli che hai fatto per ottenere quei risultati?? da dove ti esce radice di 2 pigreco? (è giusto eh, non voglio dire il contrario ma solo capire che calcoli hai fatto..)
Grazie ancora per l'aiuto, questa tipologia di esercizi mi fa impazzire da un mese, non riesco a capirne la "chiave" di risoluzione..
Mmm... misa che se non sai il perché del $2\pi$ la "chiave" che cerchi è... ri-studiare dall'inizio! 
Quando si parla di variabile aleatoria normale di media $\mu$ e varianza $\sigma^2$ si intende una v.a. (ad esempio $X$) con densità di probabilità
\(\displaystyle f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left[\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right]\)
e questo è un "must", da sapere punto e basta. E' un modello probabilistico tra i più usati, è semplice e ha molte proprietà utili.
Detto ciò, non capisco dove sia il problema nell'usare la formula con la sommatoria, "dritto pè dritto" direbbe qualcuno.
Abbiamo detto:
- risolvi l'equazione $g(X)=Y$ e trovi le $x_i$ (nel tuo caso $y$ e $-y$ per $y>=0$, nessuna soluzione per $y<0$). Ti è chiaro questo passaggio? Ho dato per scontato che sapessi risolvere un'equazione con il modulo.
- Per ogni $x_i$ calcoli $|g'(x_i)|$. Nel tuo caso viene $1$ in entrambi i casi, perché la funzione modulo ha pendenza $1$ per $X>0$ e $-1$ per $X<0$.
- Per ogni $x_i$ calcoli $f_X(x_i)$.
Ora hai tutti gli "ingredienti" che ti servono per la formula. Nel tuo caso:
\(\displaystyle f_Y(y)= \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 5}} \exp\left[\frac{y^2}{2 \cdot 5}\right] + \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 5}} \exp\left[\frac{(-y)^2}{2 \cdot 5}\right] \)
Più in dettaglio di così si muore.
Quando si parla di variabile aleatoria normale di media $\mu$ e varianza $\sigma^2$ si intende una v.a. (ad esempio $X$) con densità di probabilità
\(\displaystyle f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left[\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right]\)
e questo è un "must", da sapere punto e basta. E' un modello probabilistico tra i più usati, è semplice e ha molte proprietà utili.
Detto ciò, non capisco dove sia il problema nell'usare la formula con la sommatoria, "dritto pè dritto" direbbe qualcuno.
Abbiamo detto:
- risolvi l'equazione $g(X)=Y$ e trovi le $x_i$ (nel tuo caso $y$ e $-y$ per $y>=0$, nessuna soluzione per $y<0$). Ti è chiaro questo passaggio? Ho dato per scontato che sapessi risolvere un'equazione con il modulo.
- Per ogni $x_i$ calcoli $|g'(x_i)|$. Nel tuo caso viene $1$ in entrambi i casi, perché la funzione modulo ha pendenza $1$ per $X>0$ e $-1$ per $X<0$.
- Per ogni $x_i$ calcoli $f_X(x_i)$.
Ora hai tutti gli "ingredienti" che ti servono per la formula. Nel tuo caso:
\(\displaystyle f_Y(y)= \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 5}} \exp\left[\frac{y^2}{2 \cdot 5}\right] + \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 5}} \exp\left[\frac{(-y)^2}{2 \cdot 5}\right] \)
Più in dettaglio di così si muore.
mmm edito perchè mi sono accorto di un errore:
Nella soluzione finale l'esponente dell'esponenziale è $-y^2/10$, ma secondo la formula che hai scritto te dovrebbe essere sempre positivo l'esponente no??
Nella soluzione finale l'esponente dell'esponenziale è $-y^2/10$, ma secondo la formula che hai scritto te dovrebbe essere sempre positivo l'esponente no??
Si scusa ho dimenticato dei $-$ in entrambi gli esponenti (anche nella formula generale della normale che ho scritto su).
Perfetto!
Grazie mille, sei stato molto gentile e chiarissimo!
impazzisco con gli altri esercizi ora..spero di non disturbarti ancora
Grazie mille, sei stato molto gentile e chiarissimo!
impazzisco con gli altri esercizi ora..spero di non disturbarti ancora
Edito direttamente qui per evitare di riscrivere un altro 3d.
Sempre in questo esercizio, come calcolo la media di $Y$?
Devo calcolare l'integrale di $Yf_X(x)$?
Sempre in questo esercizio, come calcolo la media di $Y$?
Devo calcolare l'integrale di $Yf_X(x)$?
Ti ho già fatto vedere più su qual è il conto da fare.
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