Calcolo del valore atteso

[Giobbo89]

Ciao a tutti.
Ho una domanda a cui spero possiate dare risposta.
Avendo due variabili aleatorie $X$ e $Y$ non indipendenti, le loro densità congiunta (ho quindi poi calcolato le rispettive densità marginali), come si calcola il valore atteso del loro prodotto? Per intenderci, $E[XY]$?
Perché nel caso di variabili indipendenti so che $E[XY]=E[X]E[Y]$, ma non capisco come calcolarlo nel caso non siano indipendenti.
Provando a ragionare (sulla base della formula per calcolare il valore atteso), io farei in questo modo:

$\sum_{i,j}x_i*y_j*p(x_i,y_j)$

E' corretto?
Ah, preciso che sto parlando di variabili aleatorie discrete (come credo si capisca).

[Sorrow94]

Dovrebbe essere il valore atteso su Y del valore atteso condizionato a Y di X.

Logicamente fila poiché operando il valore atteso condizionato su X, ottieni una funzione di Y, che rappresenta il valore atteso di X. Una volta fatto il valore atteso su Y pure, dovresti avere il valore corretto.

Facendo i calcoli e semplificandoli, dovrebbe coincidere con la tua espressione.





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[Giobbo89]

Innanzitutto ti ringrazio della risposta.
Se per caso qualcuno potesse togliermi definitivamente il dubbio (visto che quel "dovrebbe essere" iniziale di Sorrow non è proprio convincente ) gliene sarei grato.

[Lo_zio_Tom]

"Giobbo89":Innanzitutto ti ringrazio della risposta.
Se per caso qualcuno potesse togliermi definitivamente il dubbio (visto che quel "dovrebbe essere" iniziale di Sorrow non è proprio convincente ) gliene sarei grato.

@Giobbo89: il tuo calcolo non è corretto....è più che corretto! (è proprio la definizione di correlazione, che trovi su tutti i testi di statistica)




questo è nel caso continuo...nel discreto, ovviamente, basta usare le somme invece degli integrali ottenendo subito

$E[XY]=sum_(x)sum_(y)x\cdoty\cdotp_(X,Y)(x,y)$


...mi permetto inoltre di far notare (senza nessuna pretesa di saccenza) che per risolvere certe questioni è sufficiente aprire i libri (qualunque libro di Statistica va bene) al capitolo "caratterizzazione sintetica di coppie di variabili aleatorie" o qualche cosa del genere.....

cordiali saluti

[Giobbo89]

Grazie mille tommik!
Finalmente mi sono tolto sto dubbio.
Dico la verità, mi era venuto per via di questo esercizio risolto (esercizio 1, senza passaggi) che ho trovato in rete qualche giorno fa:

http://web.freepass.it/maurizioudini/Es ... ariate.PDF

La soluzione indica $E[XY]=0,66$ e quindi le cose son due: o i calcoli mi vengono sbagliati oppure la soluzione indicata è sbagliata.
Il calcolo che faccio è il seguente:

$E[XY]=(-2*(-2)*0,1)+(-2*1*0,1)+(-2*3*0,05)+(4*(-2)*0,2)+(4*1*0,5)+(4*3*0,05)=0,4-0,2-0,3-1,6+2+0,6=0,9$

A me pare corretto in quanto semplicemente applico la formula che credevo, e anzi a questo punto so, essere corretta.