Calcolo costante di normalizzazione

[mobley]

Diversamente dall'esercizio precedente ritengo che in questo caso si tratti di ricavare la densità multivariata "implicitamente", anche se non so se ho fatto bene.
Ho la densità congiunta $f(x,y)=ke^(-2/3(x^2/4-(xy)/6+y^2/9)$ e devo ricavarmi la costante. Allora:

$1=k\int_(\mathbb(R)^2)e^(-2/3(x^2/4-(xy)/6+y^2/9)$

Bene. Arrivo a scomporre l'esponente come $e^(-1/2 \cdot 1/27(9x^2-2\cdot 3xy+4y^2)$, che ricorda chiaramente l'esponenziale contenuto nella densità multivariata, quindi se $\sigma_x^2=4$, $\rho=3$ e $\sigma_y^2=4$ dovremmo avere $\sum=[ ( 4 , 3 ),( 3 , 9 ) ]rArr det(\sum)=27$ da cui $\sum^(-1)=1/27[ ( 9 , -3 ),( -3 , 4 ) ]$ e $(x,y)\sum^(-1)( (x), (y) ) =1/27(x,y)[ ( 4 , -3 ),( -3 , 9 ) ] ( (x), (y) )$, che infatti coincide proprio con la quantità in parentesi…

Quindi posso dire che $1=k\cdot 1/(2\pi \sqrt(27))$? E' corretto?

[Lo_zio_Tom]

risultato giusto....idea iniziale giusta...procedimento mah.....

La densità gaussiana bivariata (che trovi praticamente ovunque) è la seguente

$f_(XY)(x,y)=1/(2pi sigma_x sigma_ysqrt(1-rho^2))exp{-1/(2(1-rho^2))[(x-mu_x)^2/sigma_x^2-2rho((x-mu_x)(y-mu_y))/(sigma_x sigma_y)+(y-mu_y)^2/sigma_y^2]}$

Senza nemmeno pensarci troppo si vede subito che l'esponente della tua densità è questo

$exp{-1/(2\cdot3/4)[x^2/2^2-1\cdot (xy)/(2\cdot3)+y^2/3^2]}$

per cui hai subito

$mu_x=0$

$mu_y=0$

$sigma_x^2=4$

$sigma_y^2=9$

$rho=1/2$

$(1-rho^2)=3/4$

come ti fa a venire $rho=3$....ma sai cos'è $rho$??? è un coefficiente che sta in $[-1;1]$

Nell'esercizio precedente avevi $rho=cov$ perché le varianze erano entrambe 1.

[mobley]

"tommik":come ti fa a venire $rho=3$....ma sai cos'è $rho$???

In effetti $\sum^(-1):=1/(det(\sum))[ ( Var[Y] , -Cov[X,Y] ),( -Cov[X,Y] , Var[X] ) ] $, quindi se $Cov(X,Y)=3rArr \rho=3/\sqrt(4\cdot9)=1/2$. Grazie tommik!