Calcolo combinatorio con 3 urne

[Lullaby931]

Ciao a tutti! Devo svolgere questo esercizio, ma non avendo la soluzione non so se le mie idee siano giuste o meno, per cui chiedo un vostro aiuto.
Grazie

Siano date tre urne U1, U2, U3. U1 contenga 5 palline nere e 3 rosse, U2 contenga 4 palline
nere e 4 rosse, U3 contenga 6 palline nere e 2 rosse. Si estragga una pallina da U1 e si immetta una pallina
dello stesso colore di quella estratta sia in U2 che in U3. Con probabilità 1/2 si estragga una pallina da U2
e con probabilità 1/2 si estragga una pallina da U3.
(i) Determinare la probabilità di estrarre una pallina rossa alla seconda estrazione.
(ii) Determinare la probabilità che si sia estratta una pallina rossa alla prima estrazione nell’ipotesi che si
estragga una pallina nera alla seconda estrazione.

Vi spiego quello che ho fatto io: (è la prima volta che pubblico qualcosa e non ho ancora capito bene come scrivere le formule..nelle formule della probabilità con la "," indicherò l'intersezione)

(i) P(R alla 2° estrazione) = P(R alla 2°, estraggo da U2) + P(R alla 2°, estraggo da U3)
col teorema di Bayes condiziono le probabilità rispettivamente ad U2 e ad U3, cioè

$ P(R alla 2°, estraggo da U2) = P(estraggo da U2) * {P(R alla 2°| R alla 1°, scegliendo da U2) * P(R alla 1°) + P(R alla 2°| N alla 1°, scegliendo da U2) * P(N alla 1°)} $
analogamente l'altra. Il risultato finale mi trovo 9/26.

(ii) sempre usando il teorema di Bayes, scrivo:
$ P(R alla 1°| N alla 2°) = {P(N alla 2°| R alla 1°) * P(R alla 1°)} / P(N alla 2°) $

a questo punto ho dei dubbi sul calcolo di $ P(N alla 2°| R alla 1°) $ e su quello di $ P(N alla 2°) $
per la probabilità condizionata ho provato a intersecare l'evento condizionante con le due urne, cioè
$ P(N alla 2°| R alla 1°) = P(N alla 2°| R alla 1° , estraggo da U2) + P(N alla 2°|R alla 1°, estraggo da U3) $
e poi?
Ma ho il dubbio che l'intersezione debba essere fata prima del condizionamento, cioè
$ P(N alla 2°| R alla 1°) = P(N alla 2°, estraggo da U2| R alla 1°) + P(N alla 2°, estraggo da U3| R alla 1°) $
e da cui pensavo di "sdoppiare" l'intersezione condizionata scrivendo $ P(N alla 2°, estraggo da U2| R alla 1°) = P(N alla 2°| R alla 1°) * P(estraggo da U2| R alla 1°) $
e $ P(estraggo da U2| R alla 1°) = 1/2 $ perché eventi indipendenti.
ma non riesco a capire quale sia il modo giusto..anche perché secondo il mio ragionamento, i risultati verrebbero uguali (5/24)

Infine
$ P(N alla 2°) = P(N alla 2°, estraggo da U2) + P(N alla 2°, estraggo da U3) $
applicando ancora il teorema di Bayes, dovrei ottenere quest'ultima probabilità uguale a 15/4..ma mi sembra un po' impossibile dato che dev'essere p in [0,1]

Spero si capisca tutto sebbene il testo molto lungo.
Grazie

[Lo_zio_Tom]

prendo atto dell'impegno profuso nell'inserire le formule....ma il risultato è abbastanza deludente...dai la prossima volta ti usciranno sicuramente meglio. Per l'intersezione basta fare nn racchiuso fra i simboli del dollaro, così: $nn$

Anche il risultato del primo punto è errato (per calcolare le probabilità condizionate è sufficiente cambiare la composizione dell'urna, aggiungendo una R o una N a seconda del risultato della prima estrazione):

$P(R'')=5/8[1/2\cdot4/9+1/2\cdot2/9]+3/8[1/2\cdot5/9+1/2\cdot3/9]=...=3/8$

Il secondo punto è pure molto semplice, con il teorema di bayes

$P(R' | N '')=(P(R' nn N''))/(P(N''))$

dove ovviamente con $R'$ intendo rossa alla prima estrazione uno mentre con $N''$ intendo Nera alla seconda estrazione

A questo punto il problema si risolve senza tanti conti: $P(N'')=1-P(R'')=5/8$

e quindi il ii) viene subito così

$(3/8[1/2\cdot4/9+1/2\cdot6/9])/(5/8)=1/3$

fine del problema

[Lullaby931]

ti ringrazio!! ho complicato inutilmente le cose