Calcolo combinatorio
ho un esercizio che non ha soluzione percui vi chiedo se è giusto come ho fatto:
calcolare quanto sono i numeri da 0 a 999999 che hanno almeno uno zero nelle prime tre cifre e minimo uno zero nelle ultime tre..
io ho pensato 3 (dato dalle possibilità di dove si puo trovere lo zero) moltiplicato per $10^2$ cioè le altre cifre nelle rimanti 2 posizioni..il tutto elevato alla seconda per estenderlo alle rimanenti 3 posizioni..cioè:
$(3*10^2)^2$
voi che dite?
calcolare quanto sono i numeri da 0 a 999999 che hanno almeno uno zero nelle prime tre cifre e minimo uno zero nelle ultime tre..
io ho pensato 3 (dato dalle possibilità di dove si puo trovere lo zero) moltiplicato per $10^2$ cioè le altre cifre nelle rimanti 2 posizioni..il tutto elevato alla seconda per estenderlo alle rimanenti 3 posizioni..cioè:
$(3*10^2)^2$
voi che dite?
Risposte
[mod="dissonance"]Sposto in Statistica e probabilità.[/mod]
"tenebrikko":
calcolare quanto sono i numeri da 0 a 999999 che hanno almeno uno zero nelle prime tre cifre e minimo uno zero nelle ultime tre..
Ciao,
dal testo del problema sembra che il numero debba essere per forza di 6 cifre, quindi da 100000 a 999999.
Escluderei quindi che il numero possa iniziare per zero. Tratterei quindi in modo diverso il caso delle prime 3 cifre da quello delle ultime tre.
Inoltre se fai $3*10^2$ (ad esempio per le ultime 3 cifre) conti più volte alcuni casi uguali.
Ad esempio, se la seconda cifra è zero, uno dei casi è il numero 200.
Ma lo stesso numero lo conterai anche quando consideri lo zero come terza cifra. Quindi hai contato due volte lo stesso numero.
urca.. è vero! si il testo non è il massimo ma son sicuro che parto da 0000000 stile numero binario... come posso risolvere questo quesito?
Allora, vediamo...
- in quanti modi posso avere un solo zero nelle ultime 3 cifre ? 3 modi, a ciascuno dei quali posso associare $9^2$ numeri per le altre due cifre.
- in quanti modi posso avere due zeri nelle ultime 3 cifre? sempre 3 modi (sono le combinazioni di 3 elementi presi due alla volta), a ciascuno dei quali posso associare $9$ numeri per la cifra rimanente.
- Resta il caso in cui ho tutte le tre cifre uguali a zero: una sola possibilità.
Sommando i 3 casi si ha: $((3),(1))*9^2+((3),(2))*9+((3),(3))$
Che ne pensi ?
- in quanti modi posso avere un solo zero nelle ultime 3 cifre ? 3 modi, a ciascuno dei quali posso associare $9^2$ numeri per le altre due cifre.
- in quanti modi posso avere due zeri nelle ultime 3 cifre? sempre 3 modi (sono le combinazioni di 3 elementi presi due alla volta), a ciascuno dei quali posso associare $9$ numeri per la cifra rimanente.
- Resta il caso in cui ho tutte le tre cifre uguali a zero: una sola possibilità.
Sommando i 3 casi si ha: $((3),(1))*9^2+((3),(2))*9+((3),(3))$
Che ne pensi ?
"cenzo":
dal testo del problema sembra che il numero debba essere per forza di 6 cifre
Sembra, appunto
Getto un sasso nello stagno: 100 ha almeno uno zero nelle prime tre cifre e almeno un zero nelle ultime tre; d'altronde sono così anche 101, 110, 205, 3011, 4008...
Credo intenda solo i numeri di almeno tre cifre (ma non ci metterei la manina sul fuoco).
credo che cenzo ci sia arrivato! poi metto alla seconda per estendere tutto anche alle prime 3 cifre!
ho un amico che ha proposto questa soluzione.. che non riesco a capire! ve la scrivo
$(10^3-9^3)*9^3$ non ho idea di come l'abbia tirata fuori.. può avere senso?
ho un amico che ha proposto questa soluzione.. che non riesco a capire! ve la scrivo
$(10^3-9^3)*9^3$ non ho idea di come l'abbia tirata fuori.. può avere senso?
Direi che $((3),(1))*9^2+((3),(2))*9+((3),(3))=10^3-9^3=271$
il conto del tuo amico è più rapido: ha sottratto a tutti i casi $10^3$ quelli in cui non c'è mai uno zero, appunto $9^3$, ottenendo così i casi in cui c'è almeno uno zero.
Per quanto rigurda l'altro $9^3$ non l'ho compreso, è come se non ci fosse nessuno zero in quel gruppo di 3 cifre.
Hai ragione, forse è da intendere come suggerisci. In tal caso i conti vanno rivisti...
il conto del tuo amico è più rapido: ha sottratto a tutti i casi $10^3$ quelli in cui non c'è mai uno zero, appunto $9^3$, ottenendo così i casi in cui c'è almeno uno zero.
Per quanto rigurda l'altro $9^3$ non l'ho compreso, è come se non ci fosse nessuno zero in quel gruppo di 3 cifre.
"Rggb":
Getto un sasso nello stagno: 100 ha almeno uno zero nelle prime tre cifre e almeno un zero nelle ultime tre; d'altronde sono così anche 101, 110, 205, 3011, 4008...
Hai ragione, forse è da intendere come suggerisci. In tal caso i conti vanno rivisti...
mmmhhh credo che si sia avvicinato ma poi ha sbagliato la seconda parte! ok grazie mille 
(p.s. Rggb la tua interpretazione è interessante, ma son sicuro non sia cosi! per fortuna di calcoli )
(p.s. Rggb la tua interpretazione è interessante, ma son sicuro non sia cosi! per fortuna di calcoli
)
"tenebrikko":
la tua interpretazione è interessante, ma son sicuro non sia cosi!
Io invece sono quasi sicuro sia come ho detto - è abbastanza chiaro: "numeri da 0 a 999999 che hanno almeno uno zero nelle prime tre cifre e almeno uno zero nelle ultime tre", per numeri si intende quelli scritti in notazione usuale (senza lo zero davanti); se poi devono avere uno zero nelle prime e nelle ultime tre cifre devono essere di almeno tre cifre.
Per i calcoli:
- da 100 a 999 ho $2*9^2+9$ numeri, infatti tali numeri cominciano per 1..9, hanno uno zero in seconda (risp. terza) cifra e un numero 1..9 in terza (risp. seconda) cifra, oppure finiscono per '00';
- da 1000 a 9999 analogo ragionamento, ci sono $2*9^3+3*9^2+9$ numeri;
- da 10000 a 99999 idem, ci sono $9^4+5*9^3+4*9^2+9$ numeri;
e gli altri li avete già calcolati (non ho verificato, mi fido), quindi basta sommiate per ottenere il totale.
[edit: correzione per il caso 10000-99999 ]
"Rggb":
- da 10000 a 99999 idem, ci sono $9^4+4*9^3+4*9^2+9$ numeri;
Concordo, tranne per il 4 del $9^3$
"Umby":
Concordo, tranne per il 4 del $9^3$
Ops, ne ho saltato uno, spiacente; vado a correggere.
Grazie Umby
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo