Calcolo combinatorio

[Clod2]

ho un altro esercizio da proporvi:

Nell ' Università xxx, il docente del corso yyy ha distribuito 16 domande fra cui
ne pescherà 4 per la prova d' esame. Se uno studente prepara soltanto 4 domande,


Qual è la probabilità che almeno una delle domande preparate dallo studente sia estratta alla
prova d’esame? [Risp: 265/364]

io sono arrivato ad una soluzione:

il complementare di trovarne ALMENO una che conosce è il complementare di non trovarne nessuna pertanto calcolo la probabilità di non trovarne nessuna e la sottraggo a 1.

la probabilità di non trovarne nessuna è:

$ ( ( ( 12 ),( 4 ) ) ) / ( ( ( 16 ),( 4 ) ) ) $

pertanto la probabilità da calcolare per la risposta è:

$ 1 - ( ( ( 12 ),( 4 ) ) ) / ( ( ( 16 ),( 4 ) ) ) $ che è esattamente il risultato cercato.

ora a voi chiedo se esiste un altro modo per calcolare questa probabilità... in particolare vorrei capire se c'è un approccio diretto... io ho pensato a varie soluzioni ma nessuna che porta a risultati concreti....

Graize

[cenzo1]

Potresti sommare la probabilità di trovarne 1, 2, 3 e 4 (sono eventi incompatibili).
Dovresti usare la distribuzione ipergeometrica. Il gruppo di 16 domande è costituito da 4 che conosce e 12 che non conosce.
La probabilità di trovarne esattamente una che conosce è $P(1)= (( ( 4 ),( 1 ) )* ( ( 12 ),( 3 ) ) ) / ( ( ( 16 ),( 4 ) ) ) $
Vai avanti tu...

[Clod2]

"cenzo":Potresti sommare la probabilità di trovarne 1, 2, 3 e 4 (sono eventi incompatibili).
Dovresti usare la distribuzione ipergeometrica. Il gruppo di 16 domande è costituito da 4 che conosce e 12 che non conosce.
La probabilità di trovarne esattamente una che conosce è $P(1)= (( ( 4 ),( 1 ) )* ( ( 12 ),( 3 ) ) ) / ( ( ( 16 ),( 4 ) ) ) $
Vai avanti tu...

se non ho capito male devo calcolare le tre rimanenti... ci ho provato ma ottengo un risultato errato:

la probabilità di trovarne esattamente due è: $P(2)= (( ( 4 ),( 2 ) )* ( ( 12 ),( 2 ) ) ) / ( ( ( 16 ),( 4 ) ) ) $

la probabilità di trovarne esattamente tre è: $P(3)= (( ( 4 ),( 3 ) )* ( ( 12 ),( 1 ) ) ) / ( ( ( 16 ),( 4 ) ) ) $

la probabilità di trovarne esattamente 4 è: $ 1 / ( ( ( 16 ),( 4 ) ) ) $


ma la loro somma non da il risultato sperato.. credo di sbagliare qualcosa ma questo qualcosa mi sfugge...
ho provato ad aggiungere la probabilità di non trovarne nessuna....

tuttavia oltre ai conti che non tornano... non mi è chiaro il perchè sono incompatibili gli eventi... cio'è io so che eventi incompatibili hanno l'intersezione nulla e vale che l'unione è uguale alla somma... ma in questo caso ad esempio: escono esattamente due domane intersecato esce esattamente una domanda non potrebbe avere come intersezione la possibilità di avere una domanda in comune? mi spiego meglio: le domande sapute sono: A B C D esce esattamente una... ad esempio A. ne escono esattamente due A, B l'intersezione non sarebbe A ?

cosa sbaglio ?

Graize

[cenzo1]

Forse hai sbagliato qualcosa nella somma (controlla). A me viene:
$P("almeno1")=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=(( ( 4 ),( 1 ) )* ( ( 12 ),( 3 ) ) ) / ( ( ( 16 ),( 4 ) ) )+(( ( 4 ),( 2 ) )* ( ( 12 ),( 2 ) ) ) / ( ( ( 16 ),( 4 ) ) )+(( ( 4 ),( 3 ) )* ( ( 12 ),( 1 ) ) ) / ( ( ( 16 ),( 4 ) ) )+(( ( 4 ),( 4 ) )* ( ( 12 ),( 0 ) ) ) / ( ( ( 16 ),( 4 ) ) )=1325/1820=265/364$
Ovviamente $P("almeno1")=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=1-P(0)$ (e si fa prima!) in quanto $P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=1$

tuttavia oltre ai conti che non tornano... non mi è chiaro il perchè sono incompatibili gli eventi... cio'è io so che eventi incompatibili hanno l'intersezione nulla e vale che l'unione è uguale alla somma... ma in questo caso ad esempio: escono esattamente due domane intersecato esce esattamente una domanda non potrebbe avere come intersezione la possibilità di avere una domanda in comune? mi spiego meglio: le domande sapute sono: A B C D esce esattamente una... ad esempio A. ne escono esattamente due A, B l'intersezione non sarebbe A ?

Se si è realizzato l'evento "ne sono uscite due", vuol dire che NON si è realizzato l'evento "ne è uscita una sola". Gli eventi che stai considerando non sono le singole domande (A,B,C,D) ma il conteggio di quante ne escono che conosci.

[Clod2]

"cenzo":Forse hai sbagliato qualcosa nella somma (controlla)

.

mm si sarà l'ora tarda ho rifatto i conti e torna tutto!

Se si è realizzato l'evento "ne sono uscite due", vuol dire che NON si è realizzato l'evento "ne è uscita una sola". Gli eventi che stai considerando non sono le singole domande (A,B,C,D) ma il conteggio di quante ne escono che conosci.

potresti spiegarmi meglio quello che intendi ?

[cenzo1]

"Clod":

Se si è realizzato l'evento "ne sono uscite due", vuol dire che NON si è realizzato l'evento "ne è uscita una sola". Gli eventi che stai considerando non sono le singole domande (A,B,C,D) ma il conteggio di quante ne escono che conosci.

potresti spiegarmi meglio quello che intendi ?

Hai ragione, mi sono espresso in modo pessimo
Cerco di spiegarmi meglio.
Nell'esprimento che stiamo conducendo estraiamo 4 domande da un insieme di 12. Diciamo che le domande note allo studente sono A,B,C,D.
Due possibili estrazioni sono ${(A,B,E,F)}$ e ${(A,E,F,G)}$
Da come la vedo io, abbiamo due insiemi ciascuno costituito da un solo elemento, la quartina di domande estratte.
L'elemento $(A,B,E,F)$ è diverso dall'elemento $(A,E,F,G)$ in quanto non contiene le stesse identiche quartine (tutte e 4).
Ognuno dei $((12),(4))$ elementi possibili (quartine estratte) è diverso dall'altro. Sono quindi incompatibili e possiamo sommare le relative probabilità.
Ora noi aggreghiamo gruppi di elementi caratterizzati dall'avere lo stesso numero di domande note allo studente.
Ad esempio, se consideriamo le estrazioni ${(A,B,E,F)}$ , ${(C,D,G,H)}$, ${(A,C,E,F)}$, ecc. tutti sono caratterizzati dall'avere due domande note allo studente. Raggruppiamo quindi questi eventi e gli altri che hanno questa caratteristica nell'unico evento "sono uscite esattamente 2 domande note". Li aggreghiamo sapendo che possiamo sommare le relative probabilità, in quanto incompatibili.
I gruppi che si vengono così a formare: "non è uscita nessuna domada nota", "è uscita una sola domanda nota", "sono uscite 2 domande note", ecc. restano tra loro incompatibili a due a due, poichè formati dall'unione di eventi che erano in partenza incompatibili fra loro.

Spero di non avere aumentato la confusione...

[Clod2]

si penso di aver capito grazie mille =)

[Umby2]

Potresti anche provare a calcolare:

A) Esca al primo lancio
B) Non esce al primo lancio, ma al secondo
C) Non esce nei primi 2, ma al terzo
D) Non esce nei primi 3, ma al quarto

Sommi...