Calcolo combinatorio
Buongiorno a tutti ragazzi, sono qui per un altro esercizio di probabilità da proporvi 
Così recita: Un'urna contiene 30 palline bianche e 15 nere. Se si estraggono 10 palline con reimbussolamento, trovare la probabilità che le prime due estratte siano bianche, condizionatamente all'ipotesi che il campione estratto contenga esattamente 6 palline bianche.
Premetto che odio e non mi piace proprio il calcolo combinatorio: ho sempre capito le basi e i fondamenti, ma non sono mai riuscito a mettere insieme tutti i pezzi. Allora io ho ragionato così:
detti $ A $ = "le prime due estratte sono bianche" e $ B $ ="il campione contiene sei bianche", l'obiettivo è calcolare: $ P(A|B) $.
Ora: o applico la definizione di probabilità condizionata, ma poi non saprei calcolare la probabilità dell'intersezione tra i due eventi, oppure applico il teorema di Bayes con partizione data da $ B $ ed il suo evento contrario $ \bar{B} $ così da poter scrivere: $ P(A|B)=\frac{P(B|A)*P(A)}{P(B|A)*P(A)+P(B|\bar{A})*P(\barA) $.
Per determinare $ P(A) $ e $ P(\barA) $ ho ricordato che essendo in calcolo combinatorio, basta fare il rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili, ma per le probabilità condizionate come devo procedere?
Mi sembra un cane che si morde la coda e non ne esco!
Così recita: Un'urna contiene 30 palline bianche e 15 nere. Se si estraggono 10 palline con reimbussolamento, trovare la probabilità che le prime due estratte siano bianche, condizionatamente all'ipotesi che il campione estratto contenga esattamente 6 palline bianche.
Premetto che odio e non mi piace proprio il calcolo combinatorio: ho sempre capito le basi e i fondamenti, ma non sono mai riuscito a mettere insieme tutti i pezzi. Allora io ho ragionato così:
detti $ A $ = "le prime due estratte sono bianche" e $ B $ ="il campione contiene sei bianche", l'obiettivo è calcolare: $ P(A|B) $.
Ora: o applico la definizione di probabilità condizionata, ma poi non saprei calcolare la probabilità dell'intersezione tra i due eventi, oppure applico il teorema di Bayes con partizione data da $ B $ ed il suo evento contrario $ \bar{B} $ così da poter scrivere: $ P(A|B)=\frac{P(B|A)*P(A)}{P(B|A)*P(A)+P(B|\bar{A})*P(\barA) $.
Per determinare $ P(A) $ e $ P(\barA) $ ho ricordato che essendo in calcolo combinatorio, basta fare il rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili, ma per le probabilità condizionate come devo procedere?
Mi sembra un cane che si morde la coda e non ne esco!
Risposte
Prima di tutto nota che il Teorema di Bayes oppure la definizione di Probabilità condizionata sono due modi diversi di dire la stessa cosa, quindi perfettamente equivalenti.
Per risolvere il problema basta considerare che l'intersezione fra gli eventi
A: prime due bianche su 10
B: 6 bianche su 10
significa estrarre BB e poi 4 bianche sulle restanti 8 estrazioni
Quindi, dato che sia al numeratore che al denominatore avrai la probabilità di estrarre 6 bianche su 10 palle[nota]sebbene in modo diverso: al denominatore in qualunque posizione mentre al numeratore con le prime due bianche[/nota], la probabilita richiesta è molto semplicemente
$(((8),(4)))/(((10),(6)))=(((8),(4)))/(((10),(4)))=(8*7*6*5)/(10*9*8*7)=1/3$
Per risolvere il problema basta considerare che l'intersezione fra gli eventi
A: prime due bianche su 10
B: 6 bianche su 10
significa estrarre BB e poi 4 bianche sulle restanti 8 estrazioni
Quindi, dato che sia al numeratore che al denominatore avrai la probabilità di estrarre 6 bianche su 10 palle[nota]sebbene in modo diverso: al denominatore in qualunque posizione mentre al numeratore con le prime due bianche[/nota], la probabilita richiesta è molto semplicemente
$(((8),(4)))/(((10),(6)))=(((8),(4)))/(((10),(4)))=(8*7*6*5)/(10*9*8*7)=1/3$
Ah ho capito! Perché sono combinazioni! Però dato che sono con ripetizione non dovrebbe essere allora a questo punto:
(scusa ma non riesco a scrivere il coefficiente binomiale con latex)
(8+4-1 su 4)/(10+6-1 su 6)?
Cioè chiedo: anziché usare il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili utilizzando combinazioni senza ripetizione, non dovrei usare combinazioni con ripetizione dato che estraggo le palline con reimbussolamento?
(scusa ma non riesco a scrivere il coefficiente binomiale con latex)
(8+4-1 su 4)/(10+6-1 su 6)?
Cioè chiedo: anziché usare il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili utilizzando combinazioni senza ripetizione, non dovrei usare combinazioni con ripetizione dato che estraggo le palline con reimbussolamento?
No .
Vedila così
$((2/3)^2*((8),(4))(2/3)^4 (1/3)^4)/(((10),(6))(2/3)^6 (1/3)^4)=1/3$
Vedila così
$((2/3)^2*((8),(4))(2/3)^4 (1/3)^4)/(((10),(6))(2/3)^6 (1/3)^4)=1/3$
Ah ora ho capito! Grazie mille, scusa se non avevo capito subito, ma ora che hai scritto il rapporto con anche le probabilità rispettive ho capito subito! Gentilissimo, grazie di cuore 
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