Calcolo combinatorio

[marco.ceccarelli]

Buongiorno, ho difficoltà con quest'esercizio.

Una serratura si apre con codice decimale di 4 cifre. Trovare il numero massimo di tentativi che bisogna effettuare per aprire la serratura sapendo che 2 cifre sono pari e 2 cifre sono dispari.

Per me, 10*10*10*5=5000, ma la soluzione è 3750. Io ho considerato la sequenza pari-dispari-pari-dispari, che per me è, equivalentemente ad altre, la peggiore. Grazie.

[nino_12]

"Bubbino1993":

Per me, 10*10*10*5=5000,

Grazie.

Quante sono le cifre pari? e le dispari?
E quanti gruppi di 4 cifre si possono formare con 2 pari e 2 dispari?

$ C(4,2) * 5^2 * 5^2 $

[superpippone]

$5^4*(4!)/(2!*2!)$

[marco.ceccarelli]

OK, grazie. Però non ho capito perché quello che ho detto io è invece sbagliato. Cioè... Al primo ingresso, ho 10 possibilità: facciamo che esce PARI. Al secondo ingresso, ho ancora 10 possibilità: facciamo che esce DISPARI (ipotesi peggiore). Al terzo ingresso, ho sempre 10 possibilità: facciamo che esce PARI (DISPARI è uguale). Al quarto ingresso, so già che uscirà DISPARI, per cui ho 5 possibilità...

[Umby2]

"Bubbino1993":OK, grazie. Però non ho capito perché quello che ho detto io è invece sbagliato. Cioè... Al primo ingresso, ho 10 possibilità: facciamo che esce PARI. Al secondo ingresso, ho ancora 10 possibilità: facciamo che esce DISPARI (ipotesi peggiore). Al terzo ingresso, ho sempre 10 possibilità: facciamo che esce PARI (DISPARI è uguale). Al quarto ingresso, so già che uscirà DISPARI, per cui ho 5 possibilità...

Potrei ragionare come fai te:

Al primo ho 10 possibilità: Facciamo che sia PARI
Al secondo ho 10 possibilità: Facciamo che sia PARI
Al terzo deve essere per forza dispari: quindi ho 5 possibilità
Anche il quarto deve essere dispari: quindi ho 5 possibilità

10x10x5x5 fa 2.500

se fai la media tra i due risultati....

[nino_12]

"Bubbino1993": Però non ho capito perché quello che ho detto io è invece sbagliato.

I casi sono solo questi 6:

$ P P D D $
$ P D P D $
$ P D D P $
$ D P P D $
$ D P D P $
$ D D P P $

Tu ne consideri due in più e precisamente quelli che nei primi 3 tentativi presentano tutti dispari o tutti pari, cioè

$ D D D . $
$ P P P . $

[marco.ceccarelli]

OK, grazie!

[marco.ceccarelli]

Scusate, un'ultima cosa. Ho studiato lo schema riassuntivo qui riportato.



In questo caso, per me il numero di oggetti è 2 (pari, dispari) ed il numero di posti è 4 (i 4 ingressi del codice di apertura della serratura); inoltre, i numeri pari disponibili sono 5, così come i numeri dispari. Però così sarebbe $n=2

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[marco.ceccarelli]

Qualcuno saprebbe spiegarmelo?

[superpippone]

Non sono in grado di darti una definizione "rigorosa".
Tu hai 4 elementi, di cui 2 pari e 2 dispari.
A questo punto i 2 pari puoi metterli nelle posizioni: 1-2;1-3;1-4;2-3;2-4;3-4. Cioè in sei modi diversi. Le altre due posizioni saranno occupate dai numeri dispari.
I sei modi corrispondono a $C_(4,2)$.
Oppure puoi considerare, che a me risulta più semplice, le disposizioni di 4 elementi che a due a due si ripetono:

$(4!)/(2!*2!)$

Come vedi il risultato non cambia, sempre 6.

[marco.ceccarelli]

OK, grazie!