Calcolo combinatorio

[niccoset]

L'esercizio proposto dal libro di testo è il seguente:
Ad un torneo di tennis a eliminazione diretta sono iscritti $ n $ giocatori. Quante partite vanno previste?

Andando a tentativi si vede che le partite da prevedere sono $ n-1 $. Essendo però il capitolo dedicato al calcolo combinatorio, vorrei riuscir a capire come poter esprimere il risultato in termini di combinazioni, permutazioni etc etc.
Qualcuno potrebbe illustrarmi i vari passaggi o almeno indicarmi il modo di ragionare ? Grazie.

ps: in realtà ho trovato la presunta soluzione dell'esercizio (attraverso il calcolo combinatorio), solo che non riesco a capire perchè sia quella. Diciamo che l'ho trovata sbagliando e quindi ringrazio chiunque mi spieghi i vari passaggi.

[gugo82]

"niccoset":L'esercizio proposto dal libro di testo è il seguente:
Ad un torneo di tennis a eliminazione diretta[...]

Che significa?
Interpreto come segue: si estraggono a sorte i nomi di due giocatori, i quali giocano la prima partita; il vincente di tale partita gioca contro uno dei giocatori rimanenti (estratto a caso); il vincitore di questa seconda partita gioca contro uno dei giocatori rimanenti (estratto a caso); etc... Finché non "ne rimarrà soltanto uno" (cit.)

"niccoset":sono iscritti $ n $ giocatori. Quante partite vanno previste?

Se il significato è il precedente, questo è un problema di enumerazione, più che di combinatoria.

Per $n=2$, la partita è unica, sicché \(p(2)=1\).
Per $n=3$, le partite sono due, sicché \(p(3)=2\).
Per $n=4$, le partite sono tre, cosicché \(p(4)=3\).
Congetturi \(p(n)=n-1\) per $n\geq 2$ e dimostri per induzione che la formula è corretta.

[superpippone]

Non è necessario che chi vince la prima partita, poi giochi con un altro.
E chi vince questa partita, poi giochi con un altro ancora.
E poi etc....
Se ad ogni partita uno viene eliminato, è logico che le partite giocate siano n-1
Voglio dire se siamo in venti, dopo 19 partite, 19 hanno perso e quindi ne resta una solo. Che è il vincitore.

[niccoset]

Grazie a entrambi. Mi ero posto la questione (di risolvere l'esercizio con l'uso del calcolo combinatorio) perchè l'esercizio che ho scritto si trova nel capitolo "calcolo combinatorio" e viene subito dopo l'esercizio: "Quante diagonali ha un poligono di n lati?"; quest'ultimo si può risolvere ad esempio in più modi, uno dei quali fa uso del calcolo combinatorio. Quindi mi chiedevo se ci fosse stato anche qui una soluzione che facesse uso del calcolo combinatorio.

[Epimenide93]

"superpippone":Non è necessario che chi vince la prima partita, poi giochi con un altro.
E chi vince questa partita, poi giochi con un altro ancora.
E poi etc....
Se ad ogni partita uno viene eliminato, è logico che le partite giocate siano n-1
Voglio dire se siamo in venti, dopo 19 partite, 19 hanno perso e quindi ne resta una solo. Che è il vincitore.

A voler formalizzare appena un po' il ragionamento (ragionamento che rimane corretto, è solo una mia fissazione) dato un torneo ad eliminazione diretta c'è una bîezione tra il numero di partite svolte ed il numero di "perdenti" (ogni volta che viene giocata una partita uno ed un solo giocatore perde e viene eliminato dal torneo, e non ci sono altri modi per eliminare un giocatore da un torneo), se gli iscritti al torneo sono \(n\) e vince il primo classificato le partite svolte saranno \(n-1\) (vince chi non ha mai perso una partita, perde chi ne ha persa almeno una e quindi esattamente una).