Calcolo CDF variabile aleatoria

[djanthony931]

Salve, non capisco come calcolare la CDF di questa variabile aleatoria:
$X(w_i)=10i$ con $\Omega={w_1,w_2,w_3,w_4,w_5,w_6}$ e risultati equiprobabili.

Il risultato è il seguente:

\(\displaystyle F(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & x<10\\
1/6 & 10\leq x<20\\
2/6 & 20\leq x<30\\
3/6 & 30\leq x<40\\
4/6 & 40\leq x<50\\
5/6 & 50\leq x<60\\
1 &x\geq60
\end{matrix}\right. \)

Qual è il procedimento da seguire?

[Antimius]

Basta usare la definizione di CDF: $F(x) = \mathbb{P}(X \leq x)$. Nel caso di una variable aleatoria discreta, hai che $\mathbb{P}(X\leq x) = \sum_{y \leq x} \mathbb{P}(X=y)$.
Non serve usare troppi formalismi comunque, è abbastanza intuitivo. Ad esempio, qual è la probabilità che $X<10$? E' $0$ perché la variabile aleatoria non assume valori più piccoli di $10$, perciò $F(x)=0$ per $x < 10$.
Qual è la probabilità che $X<20$? L'unica possibilità che ha di esserlo è che sia $10$ perciò la probabilità è $1/6$.
Qual è la probabilità che $X<30$? Ha due possibilità: o è $10$ o è $20$, perciò la probabilitàè $2/6$.
E così via.

[Seneca1]

Detto in altro modo: la massa probabilistica è distribuita in modo uniforme sui valori $X(w_1) = 10$, $X(w_2) = 20$ , ... , $X(w_6) = 60$ ($\Omega$ è discreto, $X$ è discreta). In corrispondenza a questi valori la funzione di ripartizione (CDF) deve avere dei salti. Siccome le uscite sono equiprobabili il salto è sempre $1/6$.

[djanthony931]

Grazie per le risposte.
Ho appena iniziato a studiare le variabili aleatori, per questi semplici esempi i risultati vanno dedotti oppure basta applicare la definizione di v.a.?
Un altro esempio banale:
Ho una v.a. definita su $\Omega={T,C}$ nel seguente modo:
$X(T)=1, X(C)=0$. Se $P(T)=p$ e $P(C)=q$ con p+q=1, la CDF di X è la seguente:

\( \displaystyle F(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & x<0 \\
q & 0 \leq x <1 \\
1 & x>1
\end{matrix}\right. \)
Perchè per $x \geq 1$ si ha $F(x)= P(X \leq x) = P({X=0} \cup {X=1}) = P(C) + P(T) = q+p = 1$ (Perchè l'unione?)

[djanthony931]

Piano piano comincio a capire.
Se considero il lancio di un dado, per il quale lo spazio campione è $\Omega={w_1,w_2...w_6}$, considero la variabile aleatoria così definita: $X(w_i)=10i$, perchè ${X \leq 35} = 1/2$?
EDIT: mi rispondo da solo: perchè ogni risultato è equiprobabile, per cui $P{X \leq 35} = 3/6 = 1/2$

Ora sempre seguendo quest'ultimo esempio, come si discute il caso $x \geq 1$? Vale sempre $P{X \leq x}=1$?
Per $x \geq 1$ non vale a considerare l'intervallo $ 1 \leq x <+\infty$?

[Seneca1]

Per ogni $x \in X$ l'evento $\{ X \le x \}$, in virtù del fatto che $X$ una v.a. discreta a due valori soltanto ($0, 1$), si può scrivere in modi più comprensibili a seconda del valore del parametro $x$:

[*:2jeuaodi] se $x < 0$, $\{ X \le x \} = \emptyset$ (l'evento impossibile);[/*:m:2jeuaodi]
[*:2jeuaodi] se $0 \le x < 1$, $\{ X \le x \} = \{ X = 0 \}$;[/*:m:2jeuaodi]
[*:2jeuaodi] se $x \ge 1$, $\{ X \le x \} = \{ X = 0 \} \cup \{ X = 1 \}$.[/*:m:2jeuaodi][/list:u:2jeuaodi]