Calcolo CDF
Ciao a tutti, ho difficoltà a trovare la CDF di una variabile aleatoria così definita:
\(\displaystyle X(w)=\left\{\begin{matrix}
w & w \in [0,\frac{1}{2}[ \cup ]\frac{3}{4},1]\\
\frac{1}{2} & altrimenti
\end{matrix}\right. \)
Ho provato a ragionare applicando la definizione di CDF $P(X \leq x)$ ma non sono assolutamente sicuro della correttezza del mio risultato:
\(\displaystyle F_X(w) \left\{\begin{matrix}
w & 0 \leq x < \frac{1}{2}\\
w+\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{4}\\
2w+\frac{1}{2} & \frac{3}{4} < x \leq 1
\end{matrix}\right. \)
EDIT: rifatte le parentesi
\(\displaystyle X(w)=\left\{\begin{matrix}
w & w \in [0,\frac{1}{2}[ \cup ]\frac{3}{4},1]\\
\frac{1}{2} & altrimenti
\end{matrix}\right. \)
Ho provato a ragionare applicando la definizione di CDF $P(X \leq x)$ ma non sono assolutamente sicuro della correttezza del mio risultato:
\(\displaystyle F_X(w) \left\{\begin{matrix}
w & 0 \leq x < \frac{1}{2}\\
w+\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{4}\\
2w+\frac{1}{2} & \frac{3}{4} < x \leq 1
\end{matrix}\right. \)
EDIT: rifatte le parentesi
Risposte
Ho editato il primo messaggio, ho usato le matrici praticamente
La traccia completa è questa:
Detto $\Omega=[0,1]$ lo spazio campione di un esperimento di probabilità, caratterizzato da una legge di probabilità uniforme, si costruisce su $\Omega$ una variabile aleatoria come segue:
\( \displaystyle X(w)=\left\{\begin{matrix} w & w \in [0,\frac{1}{2}[ \cup ]\frac{3}{4},1]\\ \frac{1}{2} & altrimenti \end{matrix}\right. \)
Determinare la CDF della variabile aleatoria $X$ e rappresentarla graficamente.
Detto $\Omega=[0,1]$ lo spazio campione di un esperimento di probabilità, caratterizzato da una legge di probabilità uniforme, si costruisce su $\Omega$ una variabile aleatoria come segue:
\( \displaystyle X(w)=\left\{\begin{matrix} w & w \in [0,\frac{1}{2}[ \cup ]\frac{3}{4},1]\\ \frac{1}{2} & altrimenti \end{matrix}\right. \)
Determinare la CDF della variabile aleatoria $X$ e rappresentarla graficamente.
qual è in questo caso la funzione di trasformazione?
la funzione di trasformazione è $X(omega)$ che per l'appunto trasforma la funzione di partenza, cioè la uniforme $U[0;1]$ in un'altra variabile....avrai fatto un po' di esercizi sulle trasformazioni.....immagino
Tu devi semplicemente calcolare $F_X$
Tu devi semplicemente calcolare $F_X$
"tommik":
la funzione di trasformazione è $X(omega)$ che per l'appunto trasforma la funzione di partenza, cioè la uniforme $U[0;1]$ in un'altra variabile....avrai fatto un po' di esercizi sulle trasformazioni.....immagino
La $X(w)$ non ha un grafico a tratti che si divide in 3 intervalli? Però non so se $w$ è maggiore o minore di 1/2
"tommik":
Tu devi semplicemente calcolare $F_X$
Lo so, ho disegnato il grafico di $X(w)$ ma non sono sicuro che il mio risultato è corretto, sicuramente avrò sbagliato a ragionare
$F_X(x)-={{: ( 0 , ;x<0 ),(x , ;0<=x<1/2 ),( 3/4 , ;1/2<=x<=3/4 ),( x , ;3/4=1 ) :}$
ciao ciao
ciao ciao
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Puoi spiegarmi come hai ragionato?
Nel primo intervallo mi trovo x. Ma tra $0<=x<1/2$ perchè 3/4? Le probabilità precedenti non si sommano?
Nel primo intervallo mi trovo x. Ma tra $0<=x<1/2$ perchè 3/4? Le probabilità precedenti non si sommano?
per spiegartelo mi tocca fare un altro grafico...ora lo faccio
Però, per favore, non quotare ogni volta tutto il messaggio precedente...non si capisce più nulla quando guardo il topic con il cellulare...thanks
Questo è il grafico della funzione di trasformazione
la parte che non ti convince è $1/2<=x<=3/4$
come vedi in $x=1/2$ la variabile concentra massa di probabilità postiva pari a
$P(X=1/2)=P(1/2
questa è la probabilità che la x concentra nel valore 1/2. Qui la variabile è discreta! la CDF sarà quindi il valore cumulato precedente più questa massa, ovvero $1/2+1/4=3/4$
da $1/2$ a $3/4$ non vi è altra massa di probabilità....e quindi la $F(X)$ rimane costante al valore di $3/4$
Esercizi come questo ne avrò risolti qualche centinaio, tutti presenti in questa stanza
buona lettura
fammi sapere se ti è chiaro
saluti
Però, per favore, non quotare ogni volta tutto il messaggio precedente...non si capisce più nulla quando guardo il topic con il cellulare...thanks
Questo è il grafico della funzione di trasformazione
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
la parte che non ti convince è $1/2<=x<=3/4$
come vedi in $x=1/2$ la variabile concentra massa di probabilità postiva pari a
$P(X=1/2)=P(1/2
questa è la probabilità che la x concentra nel valore 1/2. Qui la variabile è discreta! la CDF sarà quindi il valore cumulato precedente più questa massa, ovvero $1/2+1/4=3/4$
da $1/2$ a $3/4$ non vi è altra massa di probabilità....e quindi la $F(X)$ rimane costante al valore di $3/4$
Esercizi come questo ne avrò risolti qualche centinaio, tutti presenti in questa stanza
buona lettura
fammi sapere se ti è chiaro
saluti
Ci sono alcune cose che non mi sono molto chiare, purtroppo sono alle prime armi con questo tipo di esercizi e fatico un po'.
Seguendo gli esempi del mio testo tutte le CDF vengono calcolate ragionando sulle varie probabilità al variare della $x$, il problema è che sono esempi banali di lancio di moneta o dado. Potresti spiegarmi come calcolare le probabilità degli altri intervalli? Grazie.
Seguendo gli esempi del mio testo tutte le CDF vengono calcolate ragionando sulle varie probabilità al variare della $x$, il problema è che sono esempi banali di lancio di moneta o dado. Potresti spiegarmi come calcolare le probabilità degli altri intervalli? Grazie.
devi ragionare sulla funzione di trasformazione....dal grafico è chiaro che è divisa in tre intervalli. Inoltre sappiamo che la $w$ è distribuita in modo uniforme su zero uno.
Quindi $F_W(w)=w$
ora nel primo intervallo se provi con il grafico vedi che
$P(X<=x)=P(W<=w)=P(W<=x)=F_W(x)=x$
quindi avrai anche che $P(X<=1/2)=1/2$
per l'intervallo centrale dovresti aver capito....dato che la funzione di trasformazione è costante, significa che nel punto $x=1/2$ viene concentrata tutta la probabilità (basta guardare cosa accade in ascissa) che la w disperde fra $1/2$ e $3/4$.
In altri termini
$P(x=1/2)=F_W(3/4)-F_W(1/2)=3/4-1/2=1/4$.
Dato che a te interessa la CDF ovviamente devi sommare tutte le probabilità precedenti $rarr 1/2+1/4=3/4$
L'ultimo intervallo è come il primo
Questi esercizi sono davvero molto semplici ma occorre una certa esperienza....in questa stanza ce ne sono davvero tanti...anche molto carini...hai solo da sbizzarrirti a farli...usa la funzione cerca
se hai bisogno siamo qui....
Quindi $F_W(w)=w$
ora nel primo intervallo se provi con il grafico vedi che
$P(X<=x)=P(W<=w)=P(W<=x)=F_W(x)=x$
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
quindi avrai anche che $P(X<=1/2)=1/2$
per l'intervallo centrale dovresti aver capito....dato che la funzione di trasformazione è costante, significa che nel punto $x=1/2$ viene concentrata tutta la probabilità (basta guardare cosa accade in ascissa) che la w disperde fra $1/2$ e $3/4$.
In altri termini
$P(x=1/2)=F_W(3/4)-F_W(1/2)=3/4-1/2=1/4$.
Dato che a te interessa la CDF ovviamente devi sommare tutte le probabilità precedenti $rarr 1/2+1/4=3/4$
L'ultimo intervallo è come il primo
Questi esercizi sono davvero molto semplici ma occorre una certa esperienza....in questa stanza ce ne sono davvero tanti...anche molto carini...hai solo da sbizzarrirti a farli...usa la funzione cerca
se hai bisogno siamo qui....
Praticamente senza disegnare la funzione di trasformazione non vado da nessuna parte giusto?
Se avessi voluto trovare la CDF senza disegnare la funzione di trasformazione non ci sarei riuscito?
Se avessi voluto trovare la CDF senza disegnare la funzione di trasformazione non ci sarei riuscito?
Il tuo metodo è molto esplicativo, il fatto è che siccome le tracce da cui mi sto esercitando richiedono che gli esercizi vengono svolti in un determinato modo, quindi quello che tu hai risolto, calcolandoti la $P(X<1/2)$ ad esempio, era un quesito che veniva richiesto come passo successivo nel testo. Il fatto è che non ho ancora appreso a pieno tutta la teoria e non riesco a maneggiare bene questi esercizi, magari se fossi riuscito a risolverlo applicando semplicemente le definizioni e andando per passi avrei sicuramente colmato di più il gap teoria-pratica (per intenderci).
Ad ogni modo sei stato gentilissimo, grazie ancora per l'aiuto prezioso.
Ad ogni modo sei stato gentilissimo, grazie ancora per l'aiuto prezioso.
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