Calcolare la legge di Y

[Søren13]

Testo: Vengono prodotti componenti elettronici aventi una concentrazione di silicio X, uniformemente distribuita su (0,1). Il tempo di vita Y di un componente avente concentrazione di silicio x è esponenziale con legge $x exp (-xy)$. Calcolare le legge di Y.

Ho dei dubbi sulla richiesta. Mi sta chiedendo di calcolare la densità?
Quindi devo solo calcolare $\int_{-\infty}^{k} x exp (-xy) \dy $. E fatti i conti a me viene $-exp(-xk)$ ?
Penso di stare completamente sbagliando.

[Lo_zio_Tom]

Ti sta chiedendo di calcolare la legge della marginale $Y$

La densità è di facile calcolo:

$f_(Y)(y)=(1-ye^(-y)-e^(-y))/y^2 mathbb{1}_((0;oo))(y)$

...ed il problema finisce qui.

Un po' più interessante è integrare la densità per trovare la funzione di distribuzione: $F_Y(y)=int_(0)^yf(t)dt$

$F_(Y)(y)={{: ( 0 , ;y<=0 ),( (e^(-y)-1)/y+1 , ;y>0 ) :}$

Se volessimo fare un passettino oltre, ci accorgeremmo che la distribuzione in oggetto non ammette media.

Approfondimento: Modifichiamo la traccia sostituendo la marginale X sempre con una uniforme ma in $(1;2)$ e prova (se vuoi) a calcolare media e varianza di $Y$

[Søren13]

Perdonami, ma non riesco a capire come impostare l'integrale della densità. Sono confuso perché pensavo che quello che avevo proposto andasse bene, non riesco proprio a capire come scriverlo anche con la definizione davanti.