Calcolare densità e varianza

[faby99s]

Buongiorno, sto avendo difficoltà con un esercizio. Ho da poco iniziato a fare esercizi e non ho molto con cui confrontarmi. L'esercizio è questo:


$ f_X(x)={ ((x^2-1)/(4) (x-3) se -1
Dato il numero aleatorio $ Y= 1 - (|X|)/(2) $ , determinare la densità di probabilità e la varianza.

[Lo_zio_Tom]

avrai pur fatto qualche cosa in classe o con colleghi...avrai qualche idea no? esponi ciò che hai fatto. E' un esercizio molto standard.

1. inizia a determinare il supporto della nuova variabile $Y in (0.5;1)$


2. fai un disegno della funzione di trasformazione

3. applica la definizione di funzione di ripartizione per determinare $F_Y(y)$. Per fare ciò ti servirà anche $F_X(x)$ che saprai sicuramente calcolare.

4. deriva la F così trovata e hai la densità

5. calcoli la varianza

Invece del punto 3. esiste anche una formula precotta che ti dà la densità direttamente.


Ricorda che la bozza di soluzione è obbligatoria quindi mi aspetto un certo sforzo da parte tua....altrimenti chiudo il post

[faby99s]

In realtà più sulla varianza non mi trovo con il calcolare la densità perchè per il supporto mi trovo $1/2
$F_X(x)= P(Y<=y)=P(-|x|/2 <= y-1)=F_X(2-2y)$

Ma mi sa che non è corretto

[Lo_zio_Tom]

Premesso che non ho voglia di fare tutti i conticini per il tuo esercizio (che sono semplici ma molto molto noiosi) ti mostro come risolvere un esercizio simile (anzi identico) partendo da una densità più semplice.

Supponiamo che la $X$ sia uniforme in $(-1;1)$

Quindi $F_X(x)=(x+1)/2$

la funzione di trasformazione è, come nel tuo caso



e, come puoi notare, il dominio della $Y$ è $(0.5;1)$

A questo punto per calcolare la CDF di Y conviene partire da

$P(Y>y)=F_X(2-2y)-F_X(2y-2)=2-2y$

da cui

$F_Y(y)=1-P(Y>y)=2y-1$

che derivata dà

$f_Y(y)=2$

ovvero Y è uniforme in $(0.5;1)$

Nel tuo caso, invece di passare attraverso la FdR conviene usare il teorema fondamentale di trasformazione che permette di calcolare immediatamente la densità della trasformata...ci sono comunque un po' di conticini algebrici da fare ma il procedimento è esattamente quello che ti ho descritto

[faby99s]

ok ti ringrazio però facendo cosi la funzione $f_X(x)$ che ho inserito all'inizio del post è un dato superfluo perchè non viene mai utilizzata no?!

[Lo_zio_Tom]

Forse non mi sono spiegato bene....ti ho mostrato come fare l'esercizio facendo tutti i conti ma partendo da una funzione di densità più semplice. Ho usato $f_X(x)=1/2 \cdot \mathbb(I)_((-1;1))(x)$ invece della tua sperando inutilmente di averti fatto un grosso favore.

Nel tuo caso ottieni semplicemente

$f_Y(y)=(4(y-1)^2-1)/4[2(y-1)-3]2+(4(1-y)^2-1)/4[2(1-y)-3]2=...=-3[4(y-1)^2-1]mathbb(I)_((0.5;1))(y)$





Per favore NON CITARE OGNI VOLTA TUTTA LA MIA RISPOSTA.... e due...

[faby99s]

si infatti ci sono arrivata...grazie