\((B\Rightarrow P(A)=p)\Rightarrow P(A|B)=p\)?

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Per la serie tutto ciò che avreste sempre voluto sapere e non avete mai osato chiedere oso porre una domandina che è certamente stupida: dire \(P(B|A)=p\) equivale a dire \(P(A\Rightarrow B)=p\)?
Mi sono convinto di ciò, ma a volte mi chiedo se non abbia travisato tutto...
$\infty$ grazie a tutti!!!

EDIT: Modificato titolo.

[DavideGenova1]

Grazie, Sergio, mi hai salvato dal convincermi di una stupidaggine!
Non si può neache dire che \(P(B|A)=p\) equivalga a \(A\Rightarrow P(B)=p\)?
Grazie ancora!!!

[DavideGenova1]

$\infty$ grazie ancora!!! Quindi è meglio evitare tali "reinterpretazioni"...

[hamming_burst]

"Sergio":
Inoltre, sono molto diffidente circa miscugli tra logica e probabilità da quando mi sono imbattuto nel seguente paradosso [1]:
a) logica: se \(A\Rightarrow B\) ma \(B\) è falso, anche \(A\) è falso;
b) estensione probabilistica: se \(A\) si verifica è molto probabile che si verifichi anche \(B\), ma \(B\) non si verifica, quindi è molto probabile che nemmeno \(A\) si verifichi;
c) applicazione: se Giovanni è cittadino italiano, allora è molto probabile che non sia un membro del parlamento, ma Giovanni è un membro del parlamento, quindi è molto probabile che non sia italiano...

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[1] Jeff Gill, "The Insignificance of Null Hypothesis Significance Testing", Political Research Quarterly, vol. 52, n. 3, pp. 647-674.

molto interessante, grazie Sergio.

[DavideGenova1]

"Sergio":Dal mio punto di vista, \(A\Rightarrow B\) significa \(A\subseteq B\) e mi riesce difficile dare un senso a \(A\subseteq (P(B)=p)\). Diciamo che \(A\) e \(P(B)=p\) dovrebbero appartenere a una stessa \(\sigma\)-algebra \(\mathcal{A}\), ma le mie limitate conoscenze non mi consentono di immaginare una tale \(\mathcal{A}\).

Ciao a tutti, in particolare a Sergio, e scusate se riprendo questo argomento, ma volevo chiedere se, anche alla luce di quanto discusso in questo thread, è scorretta, come mi sono calcolato per derivare gli estremi della regione critica nel caso di test unilaterale per verificare $H_0:\mu\geq \mu_0$ contro $H_1:\mu<\mu_0$, la scrittura per esempio
\(\mu\geq \mu_0\Rightarrow P\Big(\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
Aggiornando sempre l'argomento, ho trovato conferma a una cosetta di cui mi ero convinto, stavolta per fortuna non erroneamente, cioè che\[(B\Rightarrow A)\Rightarrow P(A|B)=1\]mi resta da accertare se vale anche l'implicazione inversa e sarei $\infty$-mente grato a chi intervenisse...

[DavideGenova1]

"Sergio":ovvero \(A\) quasi certo

Già... Se \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma)\) ha distribuzione continua e $x\in\mathbb{R}$, si ha che \(P(X\in\mathbb{R}\setminus\{x\})=1\), ma direi che non è impossibile che $X=x$...

EDIT: aggiungo una nota perché trovo la cosa molto interessante e pertinente al thread: ho scoperto studiando logica che\[P(A\Rightarrow B)=P(\lnot A)+P(A)\cdot P(B|A)\]

[retrocomputer]

"DavideGenova":Già... Se \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma)\) ha distribuzione continua e $x\in\mathbb{R}$, si ha che \(P(X\in\mathbb{R}\setminus\{x\})=1\), ma direi che non è impossibile che $X=x$...

E' quasi impossibile. Ma non so se va bene come controesempio... $A=\{X\in\mathbb{R}\setminus\{x\}\}$ e $B=\{X=x\}$ sono incompatibili, non indipendenti, no? E poi non si può condizionare rispetto a un evento quasi impossibile... O forse ho capito male il senso del tuo esempio?

[DavideGenova1]

"retrocomputer":il senso del tuo esempio?

Non intendevo porre \(B=\{X=x\}\), ma solo cercare un evento $A$ tale che \(P(A)=1\) senza che $A$ fosse certo.
Grazie anche a te per l'intervento!!! Trovo queste faccende molto interessanti e mi sa che comincerò a studiare sistematicamente un po' di logica al più presto...
Grazie $\infty$ a tutti coloro che hanno già partecipato e parteciperanno al thread!