Binomiale poisson
Abbiamo $X_i$ bernulliane indipendenti per $i=1,2,..,N$ dove $N$
non è noto ma una v.a. di poisson di parametro $lambda$
ci interessa la distribuzione di $S_N=X_1+..+X_N$
se $N$ fosse noto avremmo una bonomiale $B(N,p)$
tra l'altro, il ragionamento lo capisco, ma qualcuno sa dimostrarmelo
con un criterio generale?
Poi siccome non conosciamo $N$ ma conosciamo la sua distribuzione,
tramite il teorema delle prob totali
$P(S_N<=k)=sum_(N=1)^(oo) sum_(i=1)^(k) ( (N),(i) ) p^i(1-p)^(N-i) e^(-lambda)*(lambda^N)/(N!)$
giusto?
Sperando di si, l'unica cosa che mi viene in mente di fare e portare fuori $e^(-lambda)$
esiste una forma più compatta o la formula si lascia così?
non è noto ma una v.a. di poisson di parametro $lambda$
ci interessa la distribuzione di $S_N=X_1+..+X_N$
se $N$ fosse noto avremmo una bonomiale $B(N,p)$
tra l'altro, il ragionamento lo capisco, ma qualcuno sa dimostrarmelo
con un criterio generale?
Poi siccome non conosciamo $N$ ma conosciamo la sua distribuzione,
tramite il teorema delle prob totali
$P(S_N<=k)=sum_(N=1)^(oo) sum_(i=1)^(k) ( (N),(i) ) p^i(1-p)^(N-i) e^(-lambda)*(lambda^N)/(N!)$
giusto?
Sperando di si, l'unica cosa che mi viene in mente di fare e portare fuori $e^(-lambda)$
esiste una forma più compatta o la formula si lascia così?
Risposte
Cosa succede se $N=0$?
La sommatoria su N è fatta partire da 1
$S_N$ se N=0 non esiste.
Inoltre $E(S_N)=lambda* p$ che credo sia giusto perché è anche il valore atteso di un numero aleatorio di addendi aleatori
mentre la varianza viene un valore che non coincide con la varianza della somma di u numero aleatorio di addendi aleatori
la cosa è coerente?
$S_N$ se N=0 non esiste.
Inoltre $E(S_N)=lambda* p$ che credo sia giusto perché è anche il valore atteso di un numero aleatorio di addendi aleatori
mentre la varianza viene un valore che non coincide con la varianza della somma di u numero aleatorio di addendi aleatori
la cosa è coerente?
Be a dire il vero se $N$ è poisson di parametro $lambda$ allora può anche valere $0$
considerando che $i<=N$ forse avrei $P(S_N=0)=e^(-lambda)$
quindi forse è da inserire quindi la prima sommatoria deve partire da $0$ ok?
E $VAR(S_N)=?$
considerando che $i<=N$ forse avrei $P(S_N=0)=e^(-lambda)$
quindi forse è da inserire quindi la prima sommatoria deve partire da $0$ ok?
E $VAR(S_N)=?$
Dipende dalle tue finalita'.
A volte si parte da 0 e si prende come convenzione $X_0=0$.
Comunque come era prima non andava bene.
Se e' poi come ho fatto ora stai attento che $P(X_0<=x)=1$ per $x>=0$
A volte si parte da 0 e si prende come convenzione $X_0=0$.
Comunque come era prima non andava bene.
Se e' poi come ho fatto ora stai attento che $P(X_0<=x)=1$ per $x>=0$
Cioè prima, somma senza 0, non andava bene perché mi perdevo un pezzo di prob. della poisson
quindi inserisco 0 e va bene così giusto?
quindi ho P(S_N=0) è quella che ho detto su
e quindi o gia scritto cosa vale $S_N$
quindi $X_i$ non ci sono
giusto?
e la varianza di $S_N$ quanto vale?
quindi inserisco 0 e va bene così giusto?
quindi ho P(S_N=0) è quella che ho detto su
e quindi o gia scritto cosa vale $S_N$
quindi $X_i$ non ci sono
giusto?
e la varianza di $S_N$ quanto vale?
"markowitz":
Cioè prima, somma senza 0, non andava bene perché mi perdevo un pezzo di prob. della poisson
Si, oppure perche non avendo definito $S_0$ (essendo comunque possibile perchè $P(N=0)>0$) come fai a farne la media.
Però inserendo così lo $0$ nel tuo ragionamento salta il fatto che $P(S_0<=k)=1$ per $k>=0$.
Essendo la distribuzione discreta ti conviene calcolare $P(S_N=k)$ che ti sgrana una sommatoria (ricorndando che a $P(S_0=0)$ devi aggiungere $P(N=0)$).
Per quanto riguarda la varianza usa
$Var\ X\ =\ Var[E[X|Y]]\ +\ E[Var[X|Y]]
Scusa ma deve sfuggirmi qualcosa perché a me la formula del mio primo post una volta fatta
partire da $0$ la prima sommatoria sembra completa. L'unica cosa da ricordare è che $N in NN$
ed $i<=k<=N$, non capisco la necessità di dire quello che hai scrittto
Faccio un esempio, mettiamo che $N=2$
allora $S_N=S_2=X_1+X_2$ e $P(S_N=0)=1/4=P(S_N=2)$ mentre $P(S_N=1)=1/2$
similmente se $N=1$
allora $S_N=S_1=X_1$ e $P(S_N=1)=1/2=P(S_N=0)$
ma se $N=0$ allora $S_N=S_0=0$ e basta!
semplicemente perché $S_0$ è per definizione una "scatola vuota" se si vuole
diciamo $P(S_N=0)=1$ ma già una ridondanza non c'era bisogno di dirlo
perché come dicevi anche tu il valore atteso di un numero è se stesso.
Mi perdo qualcosa? Inoltre $X_0$ non esiste! o sbaglio?
Per la varianza ora ci sono, il risultato è lo stesso
usando tutti i metodi che conosco per il calcolo
compreso quello indicato da te. Se non prendo abbagli
$VAR(S_N)=E(S_N)=lambda*p$
ma allora $S_N$ si distribuisce come
una poisson di parametro $theta=lambda*p$?
partire da $0$ la prima sommatoria sembra completa. L'unica cosa da ricordare è che $N in NN$
ed $i<=k<=N$, non capisco la necessità di dire quello che hai scrittto
"DajeForte":
Però inserendo così lo $0$ nel tuo ragionamento salta il fatto che $P(S_0<=k)=1$ per $k>=0$.
Essendo la distribuzione discreta ti conviene calcolare $P(S_N=k)$ che ti sgrana una sommatoria (ricorndando che a $P(S_0=0)$ devi aggiungere $P(N=0)$).
Faccio un esempio, mettiamo che $N=2$
allora $S_N=S_2=X_1+X_2$ e $P(S_N=0)=1/4=P(S_N=2)$ mentre $P(S_N=1)=1/2$
similmente se $N=1$
allora $S_N=S_1=X_1$ e $P(S_N=1)=1/2=P(S_N=0)$
ma se $N=0$ allora $S_N=S_0=0$ e basta!
semplicemente perché $S_0$ è per definizione una "scatola vuota" se si vuole
diciamo $P(S_N=0)=1$ ma già una ridondanza non c'era bisogno di dirlo
perché come dicevi anche tu il valore atteso di un numero è se stesso.
Mi perdo qualcosa? Inoltre $X_0$ non esiste! o sbaglio?
Per la varianza ora ci sono, il risultato è lo stesso
usando tutti i metodi che conosco per il calcolo
compreso quello indicato da te. Se non prendo abbagli
$VAR(S_N)=E(S_N)=lambda*p$
ma allora $S_N$ si distribuisce come
una poisson di parametro $theta=lambda*p$?
No forse mi sono spiegato male.
$X_0=0$ q.c.;
$S_N=sum_(i=0)^NX_i$
$P(S_N=k)=E[P(S_N=k|N)]=sum_(j=0)^(infty)P(S_j=k)P(N=j)$ per $k=0,1,...$
Ora devi ragionare su quali valori $P(S_j=k)$ è non nulla; e si capisce che deve essere $j>=k$
Ti metti a fare un po' di passaggi sulla sommattoria e trovi la distribuzione di $S_N$
$X_0=0$ q.c.;
$S_N=sum_(i=0)^NX_i$
$P(S_N=k)=E[P(S_N=k|N)]=sum_(j=0)^(infty)P(S_j=k)P(N=j)$ per $k=0,1,...$
Ora devi ragionare su quali valori $P(S_j=k)$ è non nulla; e si capisce che deve essere $j>=k$
Ti metti a fare un po' di passaggi sulla sommattoria e trovi la distribuzione di $S_N$
Vediamo un po se ho capito
$P(S_N=k)=sum_(j=0)^(oo) ( (j) , (k) ) p^j*(1-p)^(k-j)*e^(-lambda)*lambda^j/(j!)$
dove $k<=j$
ammesso sia giusta non saprei cosa altro dire
per $P(S_N<=k)$ mi verrebbe da aggiungere
una sommatoria $sum_(k=0)^(j)$
ma prima quindi la formula generale che ho scritto era proprio sbagliata,
e questa?
Se è giusta questa, le considerazioni su media e varianza fatte prima valgono?
$P(S_N=k)=sum_(j=0)^(oo) ( (j) , (k) ) p^j*(1-p)^(k-j)*e^(-lambda)*lambda^j/(j!)$
dove $k<=j$
ammesso sia giusta non saprei cosa altro dire
per $P(S_N<=k)$ mi verrebbe da aggiungere
una sommatoria $sum_(k=0)^(j)$
ma prima quindi la formula generale che ho scritto era proprio sbagliata,
e questa?
Se è giusta questa, le considerazioni su media e varianza fatte prima valgono?
"markowitz":
ma prima quindi la formula generale che ho scritto era proprio sbagliata,
e questa?
No di fondo non era sbagliata va fatto giusto qualche aggiustamento qua e la.
"markowitz":
Se è giusta questa, le considerazioni su media e varianza fatte prima valgono?
Si dovrebbe tornare anche perchè a me torna che la varibile è una Poisson.
Ho ancora bisogno della tua collaborazione:
bisogna fare attenzione ai pedici che prima ne ho sbagliati alcuni.
Se ho capito bene, vale:
$P(S_N<=k)=sum_(j=0)^(oo) sum_(k=0)^(j) ( (j) , (k) )P^k(1-p)^(j-k)*e^(-lambda)lambda^J/(j!)$
speriamo che vale,
ma allora guarda questo passaggio:
$P(S_N<=k)=(p+(1-p))^jsum_(j=0)^(oo) e^(-lambda)lambda^J/(j!)$
che è la poisson di partenza! anche se mi fa strano.
Ho sbagliato? dove?
bisogna fare attenzione ai pedici che prima ne ho sbagliati alcuni.
Se ho capito bene, vale:
$P(S_N<=k)=sum_(j=0)^(oo) sum_(k=0)^(j) ( (j) , (k) )P^k(1-p)^(j-k)*e^(-lambda)lambda^J/(j!)$
speriamo che vale,
ma allora guarda questo passaggio:
$P(S_N<=k)=(p+(1-p))^jsum_(j=0)^(oo) e^(-lambda)lambda^J/(j!)$
che è la poisson di partenza! anche se mi fa strano.
Ho sbagliato? dove?
Vedi questo era il motivo per cui ti consigliavo di lavorare su $P(S_N=k)$ e non sulla funzione di ripartizione.
Per quanto riguarda quello che hai scritto dovrebbe essere così:
$sum_(i=0)^(k)sum_(j=i)^(+infty)((j),(i))p^i(1-p)^(j-i)e^(-lambda)\ lambda^j/(j!)=sum_(i=0)^k(lambda p)^i\ e^(-lambda)/(i!)sum_(j=i)^(+infty)lambda^(j-i)q^(j-i) /((j-i!))$ e questa è la funzione di ripartizione di una poisson; prova a vedere se ti ritrovi.
Poi nel secondo passaggio (che hai fatto, ammesso che tutto sia giusto) non puoi tirare fuori quel termine perchè è elevato alla j.
Per quanto riguarda quello che hai scritto dovrebbe essere così:
$sum_(i=0)^(k)sum_(j=i)^(+infty)((j),(i))p^i(1-p)^(j-i)e^(-lambda)\ lambda^j/(j!)=sum_(i=0)^k(lambda p)^i\ e^(-lambda)/(i!)sum_(j=i)^(+infty)lambda^(j-i)q^(j-i) /((j-i!))$ e questa è la funzione di ripartizione di una poisson; prova a vedere se ti ritrovi.
Poi nel secondo passaggio (che hai fatto, ammesso che tutto sia giusto) non puoi tirare fuori quel termine perchè è elevato alla j.
E' un po tardi, spero di aver capito qualcosa 
immagino che la formula che indichi tu sia equivalente a quella che ho indicato io
anche se non sono sicuro (però spero che sia così!).
Guardando la tua, a parte i passaggi che mi risultano incomprensibili.
Starai usando proprietà magari combinatorie che ignoro poi quel $q$ da dove esce?
Ne consegue che la poisson non la vedo! E chiaramente non posso vedere "bene" il parametro!
Tornando alla mia formulazione (sperando si giusta) e vero, in generale la $j$ non potrei portarla fuori ma dentro la parentesi c'è un $1$, l'ho evidenziata solo per far vedere cosa ho fatto. In realtà la parentesi sparisce e resta solo la poisson "standard"
Però è assurdo che la funz. di ripartizione sia indipendente da $k$!!!!!!!!!!! ovvero
costante pari ad $1$!!!!!!!!!!
Spero proprio che tu riesca a "vedere" il mio errore e magari
a ricondurti ad una forma più comprensibile per il risultato giusto
immagino che la formula che indichi tu sia equivalente a quella che ho indicato io
anche se non sono sicuro (però spero che sia così!).
Guardando la tua, a parte i passaggi che mi risultano incomprensibili.
Starai usando proprietà magari combinatorie che ignoro poi quel $q$ da dove esce?
Ne consegue che la poisson non la vedo! E chiaramente non posso vedere "bene" il parametro!
Tornando alla mia formulazione (sperando si giusta) e vero, in generale la $j$ non potrei portarla fuori ma dentro la parentesi c'è un $1$, l'ho evidenziata solo per far vedere cosa ho fatto. In realtà la parentesi sparisce e resta solo la poisson "standard"
Però è assurdo che la funz. di ripartizione sia indipendente da $k$!!!!!!!!!!! ovvero
costante pari ad $1$!!!!!!!!!!
Spero proprio che tu riesca a "vedere" il mio errore e magari
a ricondurti ad una forma più comprensibile per il risultato giusto
I tuoi errori fondamenltamente sono due: primo devi scambiare l'ordine delle sommatorie perchè a seconda di dove è $i=0,..,k$ cambia la risultanza della poisson.
Mettiamolo a numeri.
Supponi $k=4$ quindi per la funz di ripartizione hai che i scorre da 0 a 4. Ora quando hai il termine $i=0$ tutte le binomiali(n,p) te lo possono creare (non si è verificato l'evento; ed ovviemente quando n=0 abbiamo messo per convenzione $S_0=0$).
Quando i=1 tutte le binomniali posso gienerarlo ma non quando $N=0$.
Quando i=2; N=0 non lo può generare, ed N=1 neanche perchè come fai ad avere due successi su una ripetizione della prova.
e cosi via...
Quindi questa ora ti dovrebbe tornare.
$sum_(i=0)^(k)sum_(j=i)^(+infty)((j),(i))p^i(1-p)^(j-i)e^(-lambda)\ lambda^j/(j!)=$
$=sum_(i=0)^(k)sum_(j=i)^(+infty)(j!)/(i!(j-i)!)p^i(1-p)^(j-i)e^(-lambda)\ lambda^j/(j!)=$ ora semplifica j! e porta fuori dalla prima sommatoria quello che non dipende da j, e poi moltiplica e dividi per $lambda^i$
$=sum_(i=0)^(k)p^i\ e^(-lambda)/(i!)\ lambda^i\ sum_(j=i)^(+infty)(1-p)^(j-i)\ lambda^(j-i)/((j-i)!)$ ora ($sum_(j=i)^(+infty)(1-p)^(j-i)\ lambda^(j-i)/((j-i)!)=e^(lambda(1-p))$ perchè cambi variabile e fai andare j da 0 e quella e la serie di maclaurin delle esponenziale.
$=sum_(i=0)^(k)p^i\ e^(-lambda)/(i!)\ lambda^i\ e^(lambda(1-p))=sum_(i=0)^(k) e^(-lambda p)/(i!)\ (p lambda)^i$
Il tuo errore stava nel come ponevi le sommatorie perchè non credo sia possibile esprimere nell'ordine opposto a come te le ho messe io proprio per quel fatto che ti ho spiegato all'inizio.
Mettiamolo a numeri.
Supponi $k=4$ quindi per la funz di ripartizione hai che i scorre da 0 a 4. Ora quando hai il termine $i=0$ tutte le binomiali(n,p) te lo possono creare (non si è verificato l'evento; ed ovviemente quando n=0 abbiamo messo per convenzione $S_0=0$).
Quando i=1 tutte le binomniali posso gienerarlo ma non quando $N=0$.
Quando i=2; N=0 non lo può generare, ed N=1 neanche perchè come fai ad avere due successi su una ripetizione della prova.
e cosi via...
Quindi questa ora ti dovrebbe tornare.
$sum_(i=0)^(k)sum_(j=i)^(+infty)((j),(i))p^i(1-p)^(j-i)e^(-lambda)\ lambda^j/(j!)=$
$=sum_(i=0)^(k)sum_(j=i)^(+infty)(j!)/(i!(j-i)!)p^i(1-p)^(j-i)e^(-lambda)\ lambda^j/(j!)=$ ora semplifica j! e porta fuori dalla prima sommatoria quello che non dipende da j, e poi moltiplica e dividi per $lambda^i$
$=sum_(i=0)^(k)p^i\ e^(-lambda)/(i!)\ lambda^i\ sum_(j=i)^(+infty)(1-p)^(j-i)\ lambda^(j-i)/((j-i)!)$ ora ($sum_(j=i)^(+infty)(1-p)^(j-i)\ lambda^(j-i)/((j-i)!)=e^(lambda(1-p))$ perchè cambi variabile e fai andare j da 0 e quella e la serie di maclaurin delle esponenziale.
$=sum_(i=0)^(k)p^i\ e^(-lambda)/(i!)\ lambda^i\ e^(lambda(1-p))=sum_(i=0)^(k) e^(-lambda p)/(i!)\ (p lambda)^i$
Il tuo errore stava nel come ponevi le sommatorie perchè non credo sia possibile esprimere nell'ordine opposto a come te le ho messe io proprio per quel fatto che ti ho spiegato all'inizio.
Ok forse ho capito,
adesso dovrei individuare
$P(N|S_N=s)$ ma ho paura di aver fato solo casino
mi potresti dire qual'è la "strada giusta"? Con ste sommatorie intendo.
adesso dovrei individuare
$P(N|S_N=s)$ ma ho paura di aver fato solo casino
mi potresti dire qual'è la "strada giusta"? Con ste sommatorie intendo.
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