Binomiale negativa
Buongiorno,
vi propongo il secondo problema dell'allegato:
Ho proceduto tenendo conto del complementare rispetto alla domanda del problema in modo tale da poter utilizzare la binomiale negativa ponendo il numero dei successi K=3 e andando quindi a calcolare il numero n di prove minimo per avere una probabilita del 95% di scoprire l'individuo malato.
Il mio problema sta nel fatto che ovviamente mi esce fuori un'equazione di difficile risoluzione: fosse stata una v.c. continua avrei usato la standardizzazione andando a utilizzare i percentili della normale ma ovviamente in questo caso non è possibile...
Proprio questo tipo di esercizi (tra i tantissimi...) mi dà particolare fastidio, ovvero non il calcolare la probabilità ma esattamente l'inverso...
vi propongo il secondo problema dell'allegato:
Ho proceduto tenendo conto del complementare rispetto alla domanda del problema in modo tale da poter utilizzare la binomiale negativa ponendo il numero dei successi K=3 e andando quindi a calcolare il numero n di prove minimo per avere una probabilita del 95% di scoprire l'individuo malato.
Il mio problema sta nel fatto che ovviamente mi esce fuori un'equazione di difficile risoluzione: fosse stata una v.c. continua avrei usato la standardizzazione andando a utilizzare i percentili della normale ma ovviamente in questo caso non è possibile...
Proprio questo tipo di esercizi (tra i tantissimi...) mi dà particolare fastidio, ovvero non il calcolare la probabilità ma esattamente l'inverso...
Risposte
"Mandolino":
...fosse stata una v.c. continua avrei usato la standardizzazione andando a utilizzare i percentili della normale ma ovviamente in questo caso non è possibile...
Sicuro?
la variabile in oggetto è la seguente; per ogni esame abbiamo
$X-={{: ( 1 , 0 ),( 0.7 , 0.3 ) :}$
di media $E[X]=0.7$ e varianza $V[X]=0.21$
Posto $Y=sum_i X_i$
siamo interessati a calcolare
$P{Y<=2}<=0.05$
Ora, applicando il Teorema del Limite Centrale con la correzione di continuità (la variabile è discreta)
$P{Z<(2.5-n*0.7)/sqrt(0.21*n)}<=0.05$
che significa risolvere
$(2.5-n*0.7)/sqrt(0.21*n)<=-1.65$
In pochi passaggi algebrici trovi che la disequazione proposta è verificata per $n>=7$
Che il risultato trovato sia corretto è di facile verifica dato che il quesito potrebbe essere risolto con l'uso della Binomiale. Infatti la probabilità di non scoprire un malato è la probabilità che, in $n$ tentativi, si verifichino al massimo 2 successi. In altri termini, il problema si potrebbe impostare così:
$0.3^n+n*0.7*0.3^(n-1)+(n(n-1))/2 0.7^2*0.3^(n-2)<=0.05$
disequazione che è risolvibile solo per tentativi, ma con un semplice Excel verifichiamo subito che
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
la soluzione $n>=7$ trovata con semplici calcoli approssimati è corretta.
saluti
Perfetto 
Volevo chiederti comunque una cosa: in via del tutto teorica, la soluzione che avevo proposto io sarebbe stata valida o è solo un buco dell'acqua?
"Mandolino":
in modo tale da poter utilizzare la binomiale negativa ponendo il numero dei successi K=3 e andando quindi a calcolare il numero n di prove minimo per avere una probabilita del 95% di scoprire l'individuo malato.
sinceramente non ci ho capito nulla.....il testo chiede la probabilità di NON scoprire un individuo malato...quindi fatico a capire come vorresti procedere...oltretutto qui non ci sono formule (in realtà non c'è nemmeno la bozza di soluzione, a voler guardare bene....)
Ti metto la definizione presa da wikipedia (non ho trovato di meglio 
)
https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Pascal
La mia intenzione era quella di porre a 3 il numero di successi ( ovvero le volte in cui viene diagnosticata la malattia) ponendo sempre come incognita il numero di volte che si deve ripetere il test e usando la formula che ho messo sopra ( la eguaglio a 0.05, lascia stare lo 0.95, una "cagata pazzesca" tutta mia), cercando però di approssimare n per difetto poichè non bisogna raggiungere il terzo successo.
Ad ogni modo ho sostituito $ N=7 $ alla "mia" formula ed è venuto 0.041 e non 0.05 ma credo sia un valore accettabile perchè da un lato il tlc approssima la binomiale (quindi non è precisissimo) ma soprattutto perchè comunque il valore trovata nella diseq. è 6.21 approssimata per eccesso a 7 poichè giustamente ci serve un valore discreto...
) https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Pascal
La mia intenzione era quella di porre a 3 il numero di successi ( ovvero le volte in cui viene diagnosticata la malattia) ponendo sempre come incognita il numero di volte che si deve ripetere il test e usando la formula che ho messo sopra ( la eguaglio a 0.05, lascia stare lo 0.95, una "cagata pazzesca" tutta mia), cercando però di approssimare n per difetto poichè non bisogna raggiungere il terzo successo.
Ad ogni modo ho sostituito $ N=7 $ alla "mia" formula ed è venuto 0.041 e non 0.05 ma credo sia un valore accettabile perchè da un lato il tlc approssima la binomiale (quindi non è precisissimo) ma soprattutto perchè comunque il valore trovata nella diseq. è 6.21 approssimata per eccesso a 7 poichè giustamente ci serve un valore discreto...
sì la distribuzione di Pascal la conosco bene anche io, non è necessario quel link. Tra l'altro esistono anche altre parametrizzazioni. Quella a cui fai riferimento conta il numero di fallimenti prima di avere n successi...ma ce n'è anche una che conta il numero di prove...al di là di questo, il valore esatto per $n=7$ te l'ho calcolato e viene circa 2.9%
Quindi, con riserva, perché non vedo le formule che hai utilizzato, mi sembra che il tuo procedimento non vada bene...
O calcoli il valore esatto (quindi con la binomiale) oppure calcoli il valore approssimato (con una opportuna distribuzione asintotica)
Questo almeno è il mio parere, anche se sicuramente esistono altre strade...
Quindi, con riserva, perché non vedo le formule che hai utilizzato, mi sembra che il tuo procedimento non vada bene...
O calcoli il valore esatto (quindi con la binomiale) oppure calcoli il valore approssimato (con una opportuna distribuzione asintotica)
Questo almeno è il mio parere, anche se sicuramente esistono altre strade...
"tommik":
ma ce n'è anche una che conta il numero di prove....
ho usato proprio questa per quello 0.041 che ho calcolato... Ad ogni modo va bene lo stesso, grazie mille
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