Binomiale e Geometrica

[Fanto88]

Una moneta equilibrata viene lanciata un certo numero n di volte. Si considerino gli eventi:
A: Esce T al più una volta
B: T e C escono almeno una volta ciascuno

Si chiede:
a) calcolare P(A),P(B),P(A intersecato B);
b) ricavare la probabilità condizionata P(B|A) e mostrare che esiste un solo valore di n (e determinarlo) per cui A e B sono indipendenti.

Ho calcolato P(A) così:

Sia X una V.C.Binomiale(n,1/2)

$P(X=1) = n * 1/2 * (1-1/2)^(n-1) = n/2^n$

Mentre il risultato corretto è: $(n+1)/2^n$

Inoltre non riesco a procedere a calcolare P(B) e P(A intersecato B)




Domitilla vuole completare l'album di N figurine di una nota trasmissione televisiva. Ormai le manca solo la figura di "lallo il cavallo". Per ora sia N = 90.
1) Se le figurine vengono vendute in bustine da cinque con la garanzia che non si possono trovare figurine identiche all'interno della stessa bustina, qual'è la probabilità che Domitilla riesca a completare l'album acquistando una bustina? Quante bustine deve mediamente acquistare per completare l'album? Se la nonna decide di regalare a Domitilla cento bustine di figurine, quante bustine contenetenti "Lallo il cavallo" troverà mediamente Domittila?
2) Nell'ipotesi in cui nelle bustine da cinque figurine possano comparire anche più figurine uguali, rispondere alle tre domande formulate al punto 1).


Per le prime domande non ho avuto problemi:
$P1= 1/18$
$E[X] = 1/(P1) = 18$
$P2 = 1 - (89/90)^5$
$E[X] = 1/(P2) = circa 18$

Non riesco a trovare la risposta a " Se la nonna decide di regalare a Domitilla cento bustine di figurine, quante bustine contenetenti "Lallo il cavallo" troverà mediamente Domittila?" in entrambi i casi.


Grazie, Davide.

[Lo_zio_Tom]

$P(A)=P(T=0)+P(T=1)=1/2^n+n/2^n=(n+1)/2^n$

$P(B)=1-P(T=0)-P(C=0)=1-2/2^n=1-1/2^(n-1)$


$P(A nn B)=P(T=1)=n/2^n$

$P(B|A)=(P(A nn B))/(P(A))=n/(n+1)$

per l'indipendenza deve essere

$P(A nn B)=P(A)P(B)$

ovvero:

$n/2^n=(n+1)/2^n [1-1/2^(n-1)] rarr ... rarr n+1=2^(n-1)$ che è verificata solo per $n=3$

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"Fanto88":
Non riesco a trovare la risposta a " Se la nonna decide di regalare a Domitilla cento bustine di figurine, quante bustine contenetenti "Lallo il cavallo" troverà mediamente Domittila?" in entrambi i casi.

$100\cdot1/18=100/18$

in entrambi i casi, per le ovvie proprietà del valore atteso

ciao

[Fanto88]

Grazie mille per le risposte. Nel secondo esercizio non ci credo di aver sbagliato un calcolo così semplice.