Beta quantile differenziato
Salve a tutti, il mio più che un problema statistico è matematico ma devo fare una piccola premessa statistica per spiegare il problema.
La regressione quantile fa sui quantili quello che fa la regressione lineare sulla media.
Vorrei dimostrare (perchè credo si possa dimostrare) come ricavare il beta quantile mischiando due normali con varianza che dipende dal fattore di regressione. Sono riuscito mettendo un po' di vincoli ma credo funzioni anche senza tutte queste restrizioni.
In poche parole se conosco la distribuzione normale so ricavare ogni quantile.
Assumo che la normale dipenda in varianza da un fattore X.
Il beta mi da la variazione del quantile da un X minore a un X maggiore.
Assumiamo di avere solo due livelli di X, e che uno sia 0. Nel punto 0 la deviazione standard di y1 è C mentre in X è
\[ sd(y1|X)= C_1 + f_1 X \sigma \], mentre il valore condizionato è sempre 0, cioè il beta lineare è parallelo all'asse X.
Di conseguenza in zero ad esempio il quinto quantile della distribuzione condizionata vale
\[
-1.65 * C_1
\]
mentre in X è
\[
-1.65 * (C_1 + f_1 X \sigma)
\]
Spero che fin qui sia tutto chiaro perchè ora inizia il mio problema.
Il beta in questo caso è \( (-1.65 *( C_1 + f_1 X \sigma) + -1.65 * C_1)/X = 1.65 * f_1 *C_1 \)
Assumiamo di aggiungere una nuova variabile y2 indipendente dall'altra sempre con distribuzione normale che ha la stessa struttura della precedente, solo che al posto di avere pedici 1 ha pedici 2.
Voglio vedere come si comporta la somma di due variabili.
Fondamentalmente basta fare la stessa cosa, il problema è che essendoci una somma di varianze la standard deviation non mi viene più pulita. Il vero problema è che non riesco a semplificare la X, cosa che dovrebbe succedere per forza a livello logico.
Sono riuscito a farlo solo assumendo che y2 è distribuito come y1 e ho risolto così (mettendo con \( p_1\) il peso della prima variabile e con \( p_2 \) il peso della seconda variabile.
\[
Q_{0.05}(y1+y2|0) = 1.65 \sqrt{ (p_1^2 + p_2^2) * C^2} = 1.65 C \sqrt{ p_1^2 + p_2^2}
\]
mentre condizionando a X ho
\[
Q_{0.05}(y1+y2|X) = 1.65 \sqrt{ (p_1^2 + p_2^2) *( f * \sigma * X + C)^2} = 1.65 ( f * \sigma * X + C) \sqrt{ p_1^2 + p_2^2}
\]
La differenza tra le due quindi viene
\[
1.65*f*\sigma \sqrt{ p_1^2 + p_2^2}
\]
Non riesco a farlo però se non ho la stessa struttura di varianza cioè con
\(f_1 \neq f_2 \) e \( c_1 \neq c_2 \), nel senso che il problema è che non so come eliminare X.
C'è qualcuno che mi può aiutare?.
Dato che in realtà è un problema di calcolo forse dovrei spostarlo in altre sezioni.
Vi prego datemi una mano.
La regressione quantile fa sui quantili quello che fa la regressione lineare sulla media.
Vorrei dimostrare (perchè credo si possa dimostrare) come ricavare il beta quantile mischiando due normali con varianza che dipende dal fattore di regressione. Sono riuscito mettendo un po' di vincoli ma credo funzioni anche senza tutte queste restrizioni.
In poche parole se conosco la distribuzione normale so ricavare ogni quantile.
Assumo che la normale dipenda in varianza da un fattore X.
Il beta mi da la variazione del quantile da un X minore a un X maggiore.
Assumiamo di avere solo due livelli di X, e che uno sia 0. Nel punto 0 la deviazione standard di y1 è C mentre in X è
\[ sd(y1|X)= C_1 + f_1 X \sigma \], mentre il valore condizionato è sempre 0, cioè il beta lineare è parallelo all'asse X.
Di conseguenza in zero ad esempio il quinto quantile della distribuzione condizionata vale
\[
-1.65 * C_1
\]
mentre in X è
\[
-1.65 * (C_1 + f_1 X \sigma)
\]
Spero che fin qui sia tutto chiaro perchè ora inizia il mio problema.
Il beta in questo caso è \( (-1.65 *( C_1 + f_1 X \sigma) + -1.65 * C_1)/X = 1.65 * f_1 *C_1 \)
Assumiamo di aggiungere una nuova variabile y2 indipendente dall'altra sempre con distribuzione normale che ha la stessa struttura della precedente, solo che al posto di avere pedici 1 ha pedici 2.
Voglio vedere come si comporta la somma di due variabili.
Fondamentalmente basta fare la stessa cosa, il problema è che essendoci una somma di varianze la standard deviation non mi viene più pulita. Il vero problema è che non riesco a semplificare la X, cosa che dovrebbe succedere per forza a livello logico.
Sono riuscito a farlo solo assumendo che y2 è distribuito come y1 e ho risolto così (mettendo con \( p_1\) il peso della prima variabile e con \( p_2 \) il peso della seconda variabile.
\[
Q_{0.05}(y1+y2|0) = 1.65 \sqrt{ (p_1^2 + p_2^2) * C^2} = 1.65 C \sqrt{ p_1^2 + p_2^2}
\]
mentre condizionando a X ho
\[
Q_{0.05}(y1+y2|X) = 1.65 \sqrt{ (p_1^2 + p_2^2) *( f * \sigma * X + C)^2} = 1.65 ( f * \sigma * X + C) \sqrt{ p_1^2 + p_2^2}
\]
La differenza tra le due quindi viene
\[
1.65*f*\sigma \sqrt{ p_1^2 + p_2^2}
\]
Non riesco a farlo però se non ho la stessa struttura di varianza cioè con
\(f_1 \neq f_2 \) e \( c_1 \neq c_2 \), nel senso che il problema è che non so come eliminare X.
C'è qualcuno che mi può aiutare?.
Dato che in realtà è un problema di calcolo forse dovrei spostarlo in altre sezioni.
Vi prego datemi una mano.
Risposte
Fondamentalmente arrivo a questo punto qua
\[
\sqrt{X^2 \sigma^2 (K_1^2 + K_2^2 } + 2 X \sigma (K1 c_1 + K_2 c_2) + ( c_1^2 + c_2^2)
\]
Se \( K_1 = K_2 \) e \( c_1 = c_2 \) ho \( X \sigma K c \sqrt{2} \)
Se non sono uguali non riesco a farlo, ma mi basterebbe trovare un modo per portare fuori la X
\[
\sqrt{X^2 \sigma^2 (K_1^2 + K_2^2 } + 2 X \sigma (K1 c_1 + K_2 c_2) + ( c_1^2 + c_2^2)
\]
Se \( K_1 = K_2 \) e \( c_1 = c_2 \) ho \( X \sigma K c \sqrt{2} \)
Se non sono uguali non riesco a farlo, ma mi basterebbe trovare un modo per portare fuori la X
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