Bernoulliana - binomiale.
Salve a tutti, ho una domanda teorica su questi due esercizi:
1) Una compagnia aerea sa che mediamente il 5% delle persone che
ha prenotato il volo non si presenta al check-in. Se la compagnia ha venduto 240
biglietti per un volo che ha solo 233 posti a sedere, qual `e la probabilità che tutti i
passeggeri che si presentano abbiano un posto a sedere?
2) Al fine di ottenere una certificazione di qualità, un’azienda deve
eseguire un test di produzione con una percentuale di prodotti non conformi non
superiore al 12%. L’azienda sa che la percentuale di prodotti non conformi `e pari
al 10%. Con quale probabilità l’azienda otterrà la certificazione di qualità sapendo
che il test consiste nella produzione di 50 prodotti? e nel caso di 200 prodotti?
Non credo di aver concretamente capito per quale motivo la prima distribuzione è binomiale e la seconda bernoulliana. Nel primo esercizio abbiamo sempre due alternative (si presenta - non si presenta), credo che il motivo per il quale tenda alla binomiale è che la probabilità si riferisce ai posti a sedere e quindi abbiamo un n collegato alla probabilità. Mentre nel secondo esercizio, abbiamo solo una probabilità senza un relativo n e quindi bernoulliana.
Potete dirmi se è corretto come ragionamento? (anche se un certo presentimento mi dice di no
)
P.S. l'esercizio l'ho svolto la risoluzione mi è chiara.
1) Una compagnia aerea sa che mediamente il 5% delle persone che
ha prenotato il volo non si presenta al check-in. Se la compagnia ha venduto 240
biglietti per un volo che ha solo 233 posti a sedere, qual `e la probabilità che tutti i
passeggeri che si presentano abbiano un posto a sedere?
2) Al fine di ottenere una certificazione di qualità, un’azienda deve
eseguire un test di produzione con una percentuale di prodotti non conformi non
superiore al 12%. L’azienda sa che la percentuale di prodotti non conformi `e pari
al 10%. Con quale probabilità l’azienda otterrà la certificazione di qualità sapendo
che il test consiste nella produzione di 50 prodotti? e nel caso di 200 prodotti?
Non credo di aver concretamente capito per quale motivo la prima distribuzione è binomiale e la seconda bernoulliana. Nel primo esercizio abbiamo sempre due alternative (si presenta - non si presenta), credo che il motivo per il quale tenda alla binomiale è che la probabilità si riferisce ai posti a sedere e quindi abbiamo un n collegato alla probabilità. Mentre nel secondo esercizio, abbiamo solo una probabilità senza un relativo n e quindi bernoulliana.
Potete dirmi se è corretto come ragionamento? (anche se un certo presentimento mi dice di no
)P.S. l'esercizio l'ho svolto la risoluzione mi è chiara.
Risposte
Binomiale e bernoulliana sono la stessa distribuzione. ..cambia solo il supporto
Binomiale : $((n), (x)) p^(x) q^(n-x) $; $ x=0,1,2...n $
Bernoulliana: $((1), (x)) p^(x) q^(1-x) $; $ x=0,1$
Come l'hai risolto? Con la binomiale è impegnativo ....ci vuole l ' approssimazione con la normale. ...e fattore di correzione, per avere un risultato accettabile
Binomiale : $((n), (x)) p^(x) q^(n-x) $; $ x=0,1,2...n $
Bernoulliana: $((1), (x)) p^(x) q^(1-x) $; $ x=0,1$
Come l'hai risolto? Con la binomiale è impegnativo ....ci vuole l ' approssimazione con la normale. ...e fattore di correzione, per avere un risultato accettabile
Come hai detto tu l'ho risolto e mi è venuto. Quindi è giusto il mio ragionamento, nel senso che la prima è supportata da n i posti, la seconda invece è la semplice probabilità?
Per questo la prima :
$ E(X) = npi $
Invece la seconda.
$ E(X) = pi $
$ E(X) = npi $
Invece la seconda.
$ E(X) = pi $
L'esercizio l'ho svolto (noi non abbiamo fatto l'indice di correzione, la nostra professoressa aimhè vuole che ci fermiamo all'approssimazione alla normale tramite il TLC), c'era scritto di commentare anche il perchè dei passaggi, io ho fatto in questo modo il 1 esercizio:
$ E(X) = 0,95 *2 40=228 $ ovvero $ E(X) = npi $
$ V(X) = 11,4 $ ovvero ho fatto $ V(X) = npi(1-pi) $
$ P ( X <= 233) = (233-228)/ sigma = (233-228)/(3,38) = 1,48
P (Z <= 233) = 0,9306 $
$ E(X) = 0,95 *2 40=228 $ ovvero $ E(X) = npi $
$ V(X) = 11,4 $ ovvero ho fatto $ V(X) = npi(1-pi) $
$ P ( X <= 233) = (233-228)/ sigma = (233-228)/(3,38) = 1,48
P (Z <= 233) = 0,9306 $
Il secondo (sempre senza indice di correzione):
$ E (X) = 0,10 $ cioè $ E(X) = pi $
$ V (X) = 0,10 * 0,90 = 0,09 $
Quindi:
$ P ( X <= 0,12) = (0,12-0,10)/(0,3) * 7,07 = 0,47 $
$ P ( Z <= 0,12) = 0,6868 $
Quando i prodotti sono 200
$ P ( X <= 0,12) = (0,12-0,10)/(0,3) * 14,14 = 0,94 $
$ P ( Z <= 0,12) = 0,8264 $
$ E (X) = 0,10 $ cioè $ E(X) = pi $
$ V (X) = 0,10 * 0,90 = 0,09 $
Quindi:
$ P ( X <= 0,12) = (0,12-0,10)/(0,3) * 7,07 = 0,47 $
$ P ( Z <= 0,12) = 0,6868 $
Quando i prodotti sono 200
$ P ( X <= 0,12) = (0,12-0,10)/(0,3) * 14,14 = 0,94 $
$ P ( Z <= 0,12) = 0,8264 $
Il commento per il 1:
Data la numerosità elevata del campione possiamo approssimare la probabilità
suddetta sfruttando la tendenza della distribuzione binomiale alla normale N(E(X), V(X))
Data la numerosità elevata del campione possiamo approssimare la probabilità
suddetta sfruttando la tendenza della distribuzione binomiale alla normale N(E(X), V(X))
Sono giusti entrambi ma ciò che non capisco è perché li svolgi diversamente i due esercizi...sono esattamente la stessa cosa:
Come hai fatto il primo, così puoi fare il secondo
n=50
$P(X<6)=P(z<=(6-5)/sqrt(50\cdot0,1\cdot0,9))=P(z<0,47)$
n=200
$P(X<24)=P(z<=(24-20)/sqrt(200\cdot0,1\cdot0,9))=P(z<0,94)$
puoi fare come preferisci dato che sono la stessa distribuzione.
n ce l'hai sempre, anche nel secondo caso....anzi nel secondo caso ne hai due di $n$, prima 50 e poi 200
Ps: se usi il fattore di correzione fai cosa buona e giusta, anche se la prof non vuole...
tieni conto che, nel secondo esercizio, per n=50, il valore giusto della binomiale è 77% mentre con la tua approssimazione (facendo i conti con tutti i decimali) ottieni solo il 68,1%....mentre con la correzione ottieni una stima di 76%
Questo è proprio un caso in cui non ci si può esimere dall'applicare il fattore di correzione!!!
Ed è anche semplicissimo, in quanto basta aggiungere 0,5 al valore cercato:
$P(z<=(6,5-5)/sqrt(50\cdot0,1\cdot0,9))=P(Z<=0,7071)=76%$
nel secondo caso, con n=200 già meglio, in quanto ad un valore vero di 85,51% già con la stima non corretta arriviamo a circa 83% .....ma con la stima corretta esce 85,55% che è praticamente perfetto!!
...e siccome sono testardo ti mostro perché è opportuno (ed in alcuni casi obbligatorio) effettuare questa semplice correzione
come vedi dal grafico (supponiamo di essere interessati a $P(X<=5)$); utilizzando la normale senza correzione ci perdiamo metà dell'istogramma blu dove c'è il 5.....se invece calcoliamo (con la normale) $P(X<=5,5)$ lo includiamo....
Come hai fatto il primo, così puoi fare il secondo
n=50
$P(X<6)=P(z<=(6-5)/sqrt(50\cdot0,1\cdot0,9))=P(z<0,47)$
n=200
$P(X<24)=P(z<=(24-20)/sqrt(200\cdot0,1\cdot0,9))=P(z<0,94)$
"Khaleesi":
Potete dirmi se è corretto come ragionamento? (anche se un certo presentimento mi dice di no
P.S. l'esercizio l'ho svolto la risoluzione mi è chiara.
puoi fare come preferisci dato che sono la stessa distribuzione.
n ce l'hai sempre, anche nel secondo caso....anzi nel secondo caso ne hai due di $n$, prima 50 e poi 200
Ps: se usi il fattore di correzione fai cosa buona e giusta, anche se la prof non vuole...
tieni conto che, nel secondo esercizio, per n=50, il valore giusto della binomiale è 77% mentre con la tua approssimazione (facendo i conti con tutti i decimali) ottieni solo il 68,1%....mentre con la correzione ottieni una stima di 76%
Questo è proprio un caso in cui non ci si può esimere dall'applicare il fattore di correzione!!!
Ed è anche semplicissimo, in quanto basta aggiungere 0,5 al valore cercato:
$P(z<=(6,5-5)/sqrt(50\cdot0,1\cdot0,9))=P(Z<=0,7071)=76%$
nel secondo caso, con n=200 già meglio, in quanto ad un valore vero di 85,51% già con la stima non corretta arriviamo a circa 83% .....ma con la stima corretta esce 85,55% che è praticamente perfetto!!
...e siccome sono testardo ti mostro perché è opportuno (ed in alcuni casi obbligatorio) effettuare questa semplice correzione
come vedi dal grafico (supponiamo di essere interessati a $P(X<=5)$); utilizzando la normale senza correzione ci perdiamo metà dell'istogramma blu dove c'è il 5.....se invece calcoliamo (con la normale) $P(X<=5,5)$ lo includiamo....
Grazie, però continuo a non capire una cosa. La differenza principale non è la presenza o meno di n? Nel senso, il mio libro mi dice che media, varianza e company di una bernoulliana si calcolano senza n. Ad esempio la media è la semplice probabilità, mentre nella binomiale è necessaria la presenza di n.
Ho visto ora il grafico, prima non me la caricava... Si è vero, pensa noi neanche gli istogrammi abbiamo fatto quindi se questa cosa non me la dicevi tu proprio non la sapevo.
Comunque, bernoulliana e binomiale sono due distribuzioni uguali quindi, solo che n nella bernoulliana è sempre pari a 1? Perfetto questo non mi era ben chiaro, credevo fosse assente n riferito alla probabilità nella bernoulliana.
Comunque, bernoulliana e binomiale sono due distribuzioni uguali quindi, solo che n nella bernoulliana è sempre pari a 1? Perfetto questo non mi era ben chiaro, credevo fosse assente n riferito alla probabilità nella bernoulliana.
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