Bernoulli

[lilly201]

Salve ragazzi mi aiutate a risolvere questo problema?
IN UNA LINEA PRODUTTIVA OGNI PEZZO HA LA PROBABILITA' DEL 3% DI ESSERE DIFETTOSO.CALCOLA
a)PROBABILITA' CHE SU 100 PEZZI NON PIU' DI 3 SIANO DIFETTOSI
b)PROBABILITA' CHE IL PRIMO PEZZO DIFETTOSO SI ABBIA AL 15ESIMO PEZZO ESAMINATO
c)PROBABILITA' DI TROVARE 100 PEZZI FUNZIONANTI PRIMA DI TROVARNE 2 DIFETTOSI

A) ho usato lo schema di successo insuccesso bernoulliano con n=100 e p=0.03. $P(X<=3)=P(X=0)+ P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) =0,647

per il resto non so come procedere chi mi può aiutare?? Grazie infinite

[cenzo1]

A) Potresti anche usare una Poisson di parametro $lambda=np=100*0.03=3$.

B) Corrisponde alla probabilità degli eventi congiunti (e indipendenti) che i primi 14 siano non difettosi e il 15° sia difettoso...

C) Ho qualche difficoltà ad interpretare questa domanda.
Potrebbe essere la probabilità che sui primi 100 estratti nessuno sia difettoso più la probabilità che sui primi 101 estratti si abbia un solo difettoso.
In entrambi i casi estrai 100 non difettosi prima di estrarre il secondo difettoso.

Naturalmente salvo errori or omissioni.

[lilly201]

ok ma non saprei come impostare il punto b)...

[DajeForte]

"lilly20":b)PROBABILITA' CHE IL PRIMO PEZZO DIFETTOSO SI ABBIA AL 15ESIMO PEZZO ESAMINATO

"cenzo":B) Corrisponde alla probabilità degli eventi congiunti (e indipendenti) che i primi 14 siano non difettosi e il 15° sia difettoso...

Mi pare che cenzo ti ha detto come impostarlo; cosa è che non ti è chiaro?

"cenzo":C) Ho qualche difficoltà ad interpretare questa domanda.
Potrebbe essere la probabilità che sui primi 100 estratti nessuno sia difettoso più la probabilità che sui primi 101 estratti si abbia un solo difettoso.
In entrambi i casi estrai 100 non difettosi prima di estrarre il secondo difettoso.

Be direi di si (occhio alla compatibilità degli eventi); sta chiedendo che il secondo pezzo difettoso sia al 102 posto o superiore. Binomiale negativa.
Si fa più rapidamente con i compementari.

[lilly201]

per b) imposto lo schema Bernoulliano con n=100 e p=15?

[cenzo1]

"lilly20":per b) imposto lo schema Bernoulliano con n=100 e p=15?

Una probabilità $p>1$ ?

E' più semplice di quello che immagini.
Hai una sequenza di 15 pezzi. I primi 14 non difettosi. L'ultimo è difettoso.

"DajeForte":Be direi di si (occhio alla compatibilità degli eventi); sta chiedendo che il secondo pezzo difettoso sia al 102 posto o superiore. Binomiale negativa.
Si fa più rapidamente con i compementari.

Hai ragione: i due eventi che ho considerato non sono incompatibili, devo togliere l'evento comune di avere i primi 100 non difettosi e il 101-esimo difettoso.

Oppure, in alternativa, posso sommare la probabilità dei due eventi: a) i primi 100 sono non difettosi e b) nei primi 100 ho 1 difettoso e il 101-esimo è non difettoso.

In entrambi i casi pervengo rapidamente ad una probabilità $P=(1-p)^100(1+100p)$

Volendo usare la binomiale negativa (grazie per il suggerimento!) dovrei calcolare:
$P(X>=100)=1-P(X<=99)=1-\sum_{k=0}^{99}((k+1),(1))p^2(1-p)^k$ e dopo lunghi e tediosi calcoli... sono pervenuto allo stesso risultato di prima.

Ovviamente quanto calcolato dovrebbe essere la probabilità di avere almeno 100 non difettosi prima di due difettosi ma non saprei se la domanda originaria chiedeva invece la prob. di averne esattamente 100.

Grazie mille Daje.
Ciao

Edit
@DajeForte
Credo che non avevo colto appieno il tuo suggerimento sulla binomiale negativa.
La probabilità di avere almeno 100 funzionanti prima di due difettosi dovrebbe essere uguale alla probabilità di avere al più 1 difettoso prima di 100 funzionanti. In questo modo i calcoli sono molto più snelli, senza serie geometriche di mezzo, e simili al mio primo approccio senza la binomiale negativa...

$P(0)+P(1)=((100+0-1),(0))*(1-p)^100*p^0+((100+1-1),(1))*(1-p)^100*p^1=(1-p)^100+100(1-p)^100p=(1-p)^100(1+100p)$

Grazie ancora.

[lilly201]

scusami ho scritto una cavolata... intendevo dire che imposto lo schema Bernoulliano con n=100, p sempre 0.03 e k=15 ovvero calcolo
$P(X=15)$?

[cenzo1]

"lilly20":scusami ho scritto una cavolata... intendevo dire che imposto lo schema Bernoulliano con n=100, p sempre 0.03 e k=15 ovvero calcolo
$P(X=15)$?

In questo modo calcoli la probabilità di avere 15 difettosi in un lotto di 100 pezzi.
Però la domanda non è questa.

"lilly20":IN UNA linea PRODUTTIVA OGNI PEZZO HA LA PROBABILITA' DEL 3% DI ESSERE DIFETTOSO.CALCOLA
b)PROBABILITA' CHE IL PRIMO PEZZO DIFETTOSO SI ABBIA AL 15ESIMO PEZZO ESAMINATO

Intanto alla domanda B) non dice che si estraggono 100 pezzi.
Io l'interpreto così: estraggo 15 pezzi, i primi 14 non difettosi, l'ultimo difettoso.

Ad esempio la probabilità che estraendo 3 pezzi ho la sequenza funzionante-funzionante-difettoso è $(1-p)*(1-p)*p$
(nell'iptesi di estrazioni indipendenti)

OK?

[lilly201]

quindi $(1-p)^14*p = 0,019$ è corretto! Grazie!

[cenzo1]

"lilly20":quindi $(1-p)^14*p = 0,019$ è corretto! Grazie!

Che poi è la distribuzione geometrica..
Prego, ciao.

[DajeForte]

"cenzo":La probabilità di avere almeno 100 funzionanti prima di due difettosi dovrebbe essere uguale alla probabilità di avere al più 1 difettoso prima di 100 funzionanti.

Quindi nei primi 101 c'è al più un difettoso cioè il secondo difettoso è dopo il 101-esimo (>=102).
Per il complementare scusa, ho usato una parola infelice ma intendevo la strada per calcolarlo come detto sopra.

@cenzo: avrei da chiederti un piacere. Visto che sei molto massiccio con R (ottimo programma che uso anchio) non è che potresti dirmi se c'è qualche implementazione per fare test non parametrici tipo chi o Kolmogorov-Smirnov e altri?

Eventualmente per non impiastricciare il thread possiamo parlare in PM.

Grazie.