Autocovarianza

[Speranza12]

L'autocovarianza di un processo stocastico teoricamente verrebbe calcolata su due istanti di tempo decisi?(quindi coinvolge solo due vc alla volta?)? Dipende dal tempo che uno decide di fissare?
Invece l'autocovarianza (nel caso stazionario debole) che vuoldire che non dipende dal tempo? Qual è l'idea in questo caso? Si riferisce ad una singola realizzazione? Oppure calcola la covarianza su tutte le vc distanziate un certo k riguardante tutte le realizzazioni del processo?(sempre teoricamente) . Ho forti dubbi spero che qualcuno riesca a spiegarmi meglio queste cose.
Grazie in anticipo

[Gughigt]

L'autocovarianza è semplicemente la covarianza di un processo con sé stesso.
Visto l'argomento suppongo tu stia studiando i processi stocastici.
Per capire che significa secondo me è necessario "sporcarsi le mani" e fare giusto due conti.
Prendiamo un processo semplice, una media mobile del primo ordine (MA(1)):

$Y_(t)=\mu+\varepsilon_(t)+\theta_(1)\varepsilon_(t-1)$

Con $\mu$ e $\theta_(1)$ costanti ed $\varepsilon ~ WN(0,\sigma^2)$ (cioè segue un processo di "rumore bianco" gaussiano.
Introducendo l'operatore ritardo $L$ (semplicemente $L^(i)\cdot \varepsilon_(t)=\varepsilon_(t-i)$) il processo può essere riscritto come:

$Y_(t)=\mu+(1+\theta_(1)L)\varepsilon_(t)$

Ancora meglio, definendo $\theta(L)=1+\theta_(1)L$, allora:

$Y_(t)=\mu+\theta(L)\varepsilon_(t)$

I primi due momenti del processo $Y_(t)$ sono $\mu$ (media) e ($1+\theta_(1)^(2)\sigma^(2)$) (varianza), a te i calcoli.
L'autocovarianza invece è ($j>1$):

$\gamma(j)=\mathbb E[(Y_(t)-\mu)(Y_(t+j)-\mu)]$

Cioè (a te l'algebra):

$=\mathbb E[\varepsilon_(t)\varepsilon_(t+j)]+\theta_(1)\mathbbE[\varepsilon_(t)\varepsilon_(t+j-1)]+\theta_(1)\mathbbE[\varepsilon_(t-1)\varepsilon_(t+j)]+\theta_(1)^(2)\mathbbE[\varepsilon_(t-1)\varepsilon_(t+j-1)]$

Risulta una funzione così definita:

$\gamma(j)={ ( (1+\theta_(1)^(2))\sigma^(2) \ se \ j=0 ),( \theta_(1)\sigma^(2) \ se\ j=1 ),(0 \ se\ j>1 ):}$

Come vedi non c'è dipendenza dal tempo (non entra nella funzione!) ma solo dal ritardo (i.e. solo dalla distanza tra $t_(i)$ e $t_(i+j)$).
Dovresti essere in grado di chiarire tutti i tuoi dubbi a questo punto.
Ciao e buona giornata