Autocorrelazione parziale
Salve a tutti, chi è che ha qualche appunto o sa qualche link per capire come si fa a calcolare l'autocorrelazione parziale. Purtroppo la lezione del prof non l'ho capita e sul libro c'è scritto solo cos'è. Vi prego aiutatemi grazie.
Risposte
La funzione di autocorrelazione parziale è molto utilizzata nell'ambito dei processi stocastici, in particolare nei processi autoregressivi e a somma mobile ARMA. Cerco di spiegarti il concetto in parole semplici: considera un processo continuo a parametro discreto discreto ${X_{t},t in Z}$ e calcola l'autocorrelazione tra due ritardi del processo, ad esempio $X_{t-1}$ e $X_{t-4}$. Supponi che esista un'elevata correlazione tra $X_{t-1}$ e $X_{t-4}$: spesso può succedere che tale correlazione dipenda dal fatto che entrambi i ritardi possano essere correlati con qualche ritardo intermedio e da ciò dipende la loro correlazione. Per evitare ciò, si considera la funzione di autocorrelazione parziale, la quale calcola la correlazione tra $X_{t-1}$ e $X_{t-4}$ al netto delle variabile intermedie (ovvero escludendo correlazioni con queste da parte di $X_{t-1}$ e $X_{t-4}$).
Il calcolo della funzione di autocorrelazione parziale non è difficile, è semplicemente il rapporto tra i determinanti di due matrici: se sei interessato ti posto la formula.
Spero di essere stato il più chiaro possibili: se dovessi avere dei dubbi posta.
Ciao
Il calcolo della funzione di autocorrelazione parziale non è difficile, è semplicemente il rapporto tra i determinanti di due matrici: se sei interessato ti posto la formula.
Spero di essere stato il più chiaro possibili: se dovessi avere dei dubbi posta.
Ciao
Dato il processo $X_{t}$, definisco con $rho(tau)$ la correlazione tra $X_{t}$ e $X_{t+tau}$. Preso
$I_{t}={X_{t+1},ldots,X_{t+tau-1}}$
l'autocorrelazione parziale $A(tau)$ è definita come
$A(tau)=cor(X_{t},X_{t+tau}|I_{t})$
In particolare
$A(tau)=|Q_{tau}|/|P_{tau}|$
dove $Q_{tau}$ e $P_{tau}$ sono due matrici che si differenziano solo per l'ultima colonna: infatti
$Q_{tau}=|(rho_{0},rho_{1},cdots,rho_{tau-2},rho_{1}),(rho_{1},rho_{0},cdots,rho_{tau-3},rho_{2}),(vdots,vdots,,vdots,vdots),(rho_{tau-1},rho_{tau-2},cdots,rho_{1},rho_{tau})|$
$P_{tau}=|(rho_{0},rho_{1},cdots,rho_{tau-2},rho_{tau-1}),(rho_{1},rho_{0},cdots,rho_{tau-3},rho_{tau-2}),(vdots,vdots,,vdots,vdots),(rho_{tau-1},rho_{tau-2},cdots,rho_{1},rho_{0})|$
La matrice $P_{tau}$ comunemente è chiamata matrice di Toeplitz. Chiaramente $A(tau)$, al variare di $tau$, indica una funzione che prende il nome di funzione di autocorralazione parziale. La sua utilità è fondamentale in processi del tipo
$X_{t}=phi_{1}X_{t-1}+ldots+phi_{p}X_{t-p}+epsilon_{t}$
dove $epsilon_{t}sim N(0,sigma^2)$.
$X_{t}$ è un processo autoregressivo di ordine p, AR(p): è come se si stesse facendo una regressione in cui i regressori sono i ritardi della variabile dipendente. Con la funzione di autocorrelazione parziale si riesce ad individuare l'ordine p, in quanto essa si annulla nel momento in cui i lags superano l'ordine del processo. Per capirci, consideriamo il caso $p=1$, dove
$X_{t}=phi X_{t-1}+epsilon_{t}$
con $|phi|<1$. La media del processo è nulla, mentre la varianza, la covarianza $gamma_{tau}$ e correlazione valgono
$Var(X_{t})=sigma^{2}/(1-phi^2)$
$gamma_{tau}=sigma^{2}phi^{tau}/(1-phi^2)$
$rho_{tau}=phi^{tau}$
Calcolo le autocorrelazioni parziali:
$A_{0}=1$
$A_{1}=rho_{1}/rho_{0}=phi$
$A_{2}=|(rho_{0},rho_{1}),(rho_{1},rho_{2})|/[|(rho_{0},rho_{1}),(rho_{1},rho_{0})|]=0$
$A_{3}=|(rho_{0},rho_{1},rho_{1}),(rho_{1},rho_{0},rho_{2}),(rho_{2},rho_{1},rho_{3})|/[|(rho_{0},rho_{1},rho_{2}),(rho_{1},rho_{0},rho_{1}),(rho_{2},rho_{1},rho_{0})|]=0$
In particolare $A_{tau}=0$ per $tau>1$.
Scusate se mi sono dilungato con l'esempio, era un modo per far capire l'utilità dell'autocorrelazione parziale.
Ciao
$I_{t}={X_{t+1},ldots,X_{t+tau-1}}$
l'autocorrelazione parziale $A(tau)$ è definita come
$A(tau)=cor(X_{t},X_{t+tau}|I_{t})$
In particolare
$A(tau)=|Q_{tau}|/|P_{tau}|$
dove $Q_{tau}$ e $P_{tau}$ sono due matrici che si differenziano solo per l'ultima colonna: infatti
$Q_{tau}=|(rho_{0},rho_{1},cdots,rho_{tau-2},rho_{1}),(rho_{1},rho_{0},cdots,rho_{tau-3},rho_{2}),(vdots,vdots,,vdots,vdots),(rho_{tau-1},rho_{tau-2},cdots,rho_{1},rho_{tau})|$
$P_{tau}=|(rho_{0},rho_{1},cdots,rho_{tau-2},rho_{tau-1}),(rho_{1},rho_{0},cdots,rho_{tau-3},rho_{tau-2}),(vdots,vdots,,vdots,vdots),(rho_{tau-1},rho_{tau-2},cdots,rho_{1},rho_{0})|$
La matrice $P_{tau}$ comunemente è chiamata matrice di Toeplitz. Chiaramente $A(tau)$, al variare di $tau$, indica una funzione che prende il nome di funzione di autocorralazione parziale. La sua utilità è fondamentale in processi del tipo
$X_{t}=phi_{1}X_{t-1}+ldots+phi_{p}X_{t-p}+epsilon_{t}$
dove $epsilon_{t}sim N(0,sigma^2)$.
$X_{t}$ è un processo autoregressivo di ordine p, AR(p): è come se si stesse facendo una regressione in cui i regressori sono i ritardi della variabile dipendente. Con la funzione di autocorrelazione parziale si riesce ad individuare l'ordine p, in quanto essa si annulla nel momento in cui i lags superano l'ordine del processo. Per capirci, consideriamo il caso $p=1$, dove
$X_{t}=phi X_{t-1}+epsilon_{t}$
con $|phi|<1$. La media del processo è nulla, mentre la varianza, la covarianza $gamma_{tau}$ e correlazione valgono
$Var(X_{t})=sigma^{2}/(1-phi^2)$
$gamma_{tau}=sigma^{2}phi^{tau}/(1-phi^2)$
$rho_{tau}=phi^{tau}$
Calcolo le autocorrelazioni parziali:
$A_{0}=1$
$A_{1}=rho_{1}/rho_{0}=phi$
$A_{2}=|(rho_{0},rho_{1}),(rho_{1},rho_{2})|/[|(rho_{0},rho_{1}),(rho_{1},rho_{0})|]=0$
$A_{3}=|(rho_{0},rho_{1},rho_{1}),(rho_{1},rho_{0},rho_{2}),(rho_{2},rho_{1},rho_{3})|/[|(rho_{0},rho_{1},rho_{2}),(rho_{1},rho_{0},rho_{1}),(rho_{2},rho_{1},rho_{0})|]=0$
In particolare $A_{tau}=0$ per $tau>1$.
Scusate se mi sono dilungato con l'esempio, era un modo per far capire l'utilità dell'autocorrelazione parziale.
Ciao
Grazie mille. Spero che a dai e dai queste cose mi entrino in testa. Ho ancora 20 giorni prima dell'esame. Speriamo bene 
Comunque sui miei appunti non ci sono matrici, e neanche sul libro, ma forse perchè abbiamo visto solo il modello AR(1), e quindi le autocorrelazioni a ritardi maggiori di 1 si annullavano... Bho
Comunque sui miei appunti non ci sono matrici, e neanche sul libro, ma forse perchè abbiamo visto solo il modello AR(1), e quindi le autocorrelazioni a ritardi maggiori di 1 si annullavano... Bho
"icklazza":
Grazie mille. Spero che a dai e dai queste cose mi entrino in testa. Ho ancora 20 giorni prima dell'esame. Speriamo bene
Comunque sui miei appunti non ci sono matrici, e neanche sul libro, ma forse perchè abbiamo visto solo il modello AR(1), e quindi le autocorrelazioni a ritardi maggiori di 1 si annullavano... Bho
Prego, mi fa piacere di esservi stato utile.
L'autocorrelazione parziale, non l'autocorrelazione, si annulla per ritardi maggiori di 1 nel modello AR(1); comunque la formula è presente in molti libri di analisi delle serie storiche: comunque la formula è quella, ti puoi fidare tranquillamente (non ti dico di controllare wikipedia perché a volte si trovano delle "boiate").
Se dovessi avere altri problemi, posta senza problemi.
In bocca al lupo per l'esame.
p.s: per Sergio: ho notato che sei un estimatore del libro di Mood; io ho il libro degli esercizi (alcuni della parte di probabilità sono troppo sfiziosi): ho sentito che la versione italiana del Mood ha alcuni errori di traduzione, ti risulta? Inoltre, pare che non sia più edito (poco importa, lo prendo in biblioteca in inglese!)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo