Approssimazione a normale(0,1)

[botta1]

Sia $X$ una v.a. esponenziale di parametro $\lambda = 2$. a) Trova media e
varianza di $X$. b) Siano $X_1$, ...,$X_150$ $150$ v.a. indipendenti e identicamente
distribuite, $X_i ∼ exp(2)$. Poni $ S = X_1 + ... + X_150$. Calcola approssimativa-
mente $P(S < 130)$.

media = $1/2$
varianza = $1/4$
Ho dei dubbi sul punto b), qualcuno riesce ad aiutarmi?

[Lo_zio_Tom]

"botta":
Ho dei dubbi sul punto b), qualcuno riesce ad aiutarmi?

certo che possiamo aiutarti, sapendo quali siano i dubbi....

a me vengono in mente ameno due strade diverse per raggiungere il risultato.

PS:

$mathbb{P}[S<130]~~0.999999999999996$

è meglio scegliere un altro valore, direi compreso fra 60 e 90, così trovi dei valori di probabilità calcolabili che abbiano un senso

[botta1]

Si infatti con 85 il tutto risulta fattibile, grazie mille

[Lo_zio_Tom]

Giusto per concludere il discorso in modo che il topic possa essere utile anche ad altri...con i dati del problema proviamo a calcolare

$mathbb{P}[S<85]$

partendo dal fatto che le $X_i$ sono tutte $Exp(2)$ iid, la probabilità proposta può essere calcolata anche in modo esatto. Infatti è noto che

$S=sum_(i=1)^(150)X_i~"Gamma"(150;2)$

$4S~"Gamma"(300/2;1/2)=chi_((300))^2$

e quindi è evidente che

$mathbb{P}[S<85]=mathbb{P}[chi_((300))^2<340]=0.944$

Il valore esatto può essere calcolato perché la chi quadro è tabulata ormai dovunque (l'ho fatto con excel)

Volendo approssimare il valore si può usare il Teorema del limite centrale che conduce a trovare

$mathbb{P}[S<85]=Phi(1.63)=0.948$

ma è anche noto che, per $"gdl"=m>=30$

$sqrt(2u)-sqrt(2m-1)=z$

e quindi


$mathbb{P}[S<85]=Phi(1.6)=0.945$

che conduce ad una approssimazione migliore del TLC