Applicazione della formula del valore atteso totale
Ciao ragazzi, chiedo nuovamente il vostro aiuto in merito ad un esercizio:
Una delle domande è
L'ho risolta applicando la formula del valore atteso totale [nota]non so se questo sia il suo nome ufficiale, deriva dalla definizione di valore atteso condizionato e dalla formula delle probabilità totali:
\(\displaystyle E(X)=\sum_i P(H_i)E[X|H_i] \)
con \(\displaystyle H_i, i=1,..m \) partizione
e \(\displaystyle P(H_i)>0 \forall i\) \)[/nota] in questa maniera:
\(\displaystyle E[Y] = \sum\limits_{k=1}^3 P(X=k) E[Y|X=k] \)
Ho calcolato facilmente \(\displaystyle E[Y|X=k] \) in quanto valore atteso di una binomiale.
Fin qui tutto ok, ma successivamente viene chiesto
So che la formula usata precedentemente è estensibile in questa maniera:
\(\displaystyle E[g(X)]=\sum_i P(H_i)E[g(X)|H_i] \)
per cui ho provato ad applicarla al mio caso:
\(\displaystyle E[Y^2] = \sum\limits_{k=1}^3 P(X=k) E[Y^2|X=k] \)
Il problema è che ora non so come procedere con i calcoli per quanto riguarda \(\displaystyle E[Y^2|X=k] \).
Grazie a chiunque vorrà aiutarmi!
Vengono estratte (senza reinserimento) \(\displaystyle 3 \) palline da un'urna che ne contiene \(\displaystyle 3 \) rosse e \(\displaystyle 2 \) bianche.
Sia \(\displaystyle X \) il numero di palline rosse estratte.
Successivamente viene lanciata una moneta truccata \(\displaystyle X \) volte. La moneta è truccata in maniera che la probabilità che esca testa è \(\displaystyle \frac{2}{3} \).
Sia \(\displaystyle Y \) il numero di teste ottenute con questo procedimento.
Una delle domande è
Calcolare il valore atteso di \(\displaystyle Y \)
L'ho risolta applicando la formula del valore atteso totale [nota]non so se questo sia il suo nome ufficiale, deriva dalla definizione di valore atteso condizionato e dalla formula delle probabilità totali:
\(\displaystyle E(X)=\sum_i P(H_i)E[X|H_i] \)
con \(\displaystyle H_i, i=1,..m \) partizione
e \(\displaystyle P(H_i)>0 \forall i\) \)[/nota] in questa maniera:
\(\displaystyle E[Y] = \sum\limits_{k=1}^3 P(X=k) E[Y|X=k] \)
Ho calcolato facilmente \(\displaystyle E[Y|X=k] \) in quanto valore atteso di una binomiale.
Fin qui tutto ok, ma successivamente viene chiesto
Calcolare \(\displaystyle E[Y^2] \)
So che la formula usata precedentemente è estensibile in questa maniera:
\(\displaystyle E[g(X)]=\sum_i P(H_i)E[g(X)|H_i] \)
per cui ho provato ad applicarla al mio caso:
\(\displaystyle E[Y^2] = \sum\limits_{k=1}^3 P(X=k) E[Y^2|X=k] \)
Il problema è che ora non so come procedere con i calcoli per quanto riguarda \(\displaystyle E[Y^2|X=k] \).
Grazie a chiunque vorrà aiutarmi!
Risposte
è semplicissimo: hai già il valore atteso della binomiale e attraverso la varianza puoi risalire $E[Y^2]$
Grazie della risposta Avevo pensato a questa soluzione ma \(\displaystyle Y \) non ha una distribuzione binomiale, è una mistura di ipergeometrica (estrazione della pallina) e binomiale (lancio della moneta), quindi la sua varianza non è calcolabile con \(\displaystyle np(1-p) \).
Con il calcolo di \(\displaystyle E[Y|X=k] \) mi era andata bene perché condizionando \(\displaystyle Y \)ad una \(\displaystyle X \) si ottiene a tutti gli effetti una binomiale.
Non riesco a capire come risalire alla varianza di Y in questo caso.
Avevo pensato a questa soluzione ma \(\displaystyle Y \) non ha una distribuzione binomiale, è una mistura di ipergeometrica (estrazione della pallina) e binomiale (lancio della moneta), quindi la sua varianza non è calcolabile con \(\displaystyle np(1-p) \).Con il calcolo di \(\displaystyle E[Y|X=k] \) mi era andata bene perché condizionando \(\displaystyle Y \)ad una \(\displaystyle X \) si ottiene a tutti gli effetti una binomiale.
Non riesco a capire come risalire alla varianza di Y in questo caso.
è chiaro che $Y$ da sola non è una binomiale, devi infatti sfruttare la distribuzione di $Y|X$ nello stesso modo in cui hai fatto prima: $E[Y^2|X=k]=Var[Y|X=k]+(E[Y|X=k])^2$ e qui puoi usare tutto quello che è noto sulla binomiale
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